Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Dix-septième semaine (matrices)

David A. Madore ( )

Simplicité de 𝕄_{n}(k). On rappelle qu’un idéal (bilatère) ℑ d’un anneau A est un un sous-groupe additif de A tel que ax ∈ ℑ et xa ∈ ℑ dès que a ∈ A et x ∈ ℑ. Montrer que les seuls idéaux (bilatères) de 𝕄_{n}(k) sont 0 (par là, on entend {0}, bien entendu) et 𝕄_{n}(k).

Plus difficile : déterminer les idéaux à gauche (resp. à droite) de 𝕄_{n}(k) (on devine ce que c’est...).

Centre de 𝕄_{n}(k). Déterminer l’ensemble des matrices H ∈ 𝕄_{n}(k) telles que MH = HM pour toute matrice M ∈ 𝕄_{n}(k).

Exercice classique. Montrer que toute forme linéaire sur 𝕄_{n}(k) peut s’écrire M ↦ Tr(^{t}A M) avec A ∈ 𝕄_{n}(k), que ce sont bien des formes linéaires et qu’elles sont deux à deux distinctes.

Exercice sans grand intérêt. On appelle magique une matrice (carrée) dans laquelle la somme de chaque ligne, et également la somme de chaque colonne est nulle. Montrer que les matrices magiques forment un sous-espace vectoriel de 𝕄_{n}(k) et calculer sa dimension ; montrer que le produit de deux matrices magiques est encore magique.

Exercice pour épater la galerie. Soit M ∈ 𝕄_{n}(k) inversible. Montrer qu’il existe un polynôme P ∈ k[X] tel que M^{−1} = P (M).