Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Seizième semaine (théorie du rang, matrices)

David A. Madore ( )

Lemme des cinq. Soit

E_{1} ⟶^{u_{1}} E_{2} ⟶^{u_{2}} E_{3} ⟶^{u_{3}} E_{4} ⟶^{u_{4}} E_{5}
f_{1} ↓  f_{2} ↓  f_{3} ↓  f_{4} ↓  f_{5} ↓
E′_{1} ⟶^{u′_{1}} E′_{2} ⟶^{u′_{2}} E′_{3} ⟶^{u′_{3}} E′_{4} ⟶^{u′_{4}} E′_{5}

Un diagramme commutatif d’espaces vectoriels de dimension finie dont les lignes sont exactes. Autrement dit, les E_{i} et E′_{i} sont des espaces vectoriels de dimension finie et les u_{i}, les u′_{i} et les f_{i} sont des applications linéaires ; dire que le diagramme est commutatif signifie que f_{2}u_{1} = u′_{1}f_{1}, que f_{3}u_{2} = u′_{2}f_{2} et ainsi de suite ; dire que les lignes sont exactes signifie que ker u_{2} = im u_{1} et ker u_{3} = im u_{2} et ainsi de suite (et aussi pour les u′_{i}). On suppose de plus que f_{1}, f_{2}, f_{4} et f_{5} sont des isomorphismes. Montrer qu’il en va alors de même de f_{3}. Pour cela, on commencera par montrer que f_{3} est injectif en prenant un x ∈ E_{3} tel que f_{3}(x) = 0 pour montrer que x = 0 ; ensuite, on montrera que f_{3} est surjectif, soit par une méthode semblable soit par des considérations de dimension et de rang.

Simplicité de 𝕄_{n}(k). On rappelle qu’un idéal (bilatère) ℑ d’un anneau A est un un sous-groupe additif de A tel que ax ∈ ℑ et xa ∈ ℑ dès que a ∈ A et x ∈ ℑ. Montrer que les seuls idéaux (bilatères) de 𝕄_{n}(k) sont 0 (par là, on entend {0}, bien entendu) et 𝕄_{n}(k).

Centre de 𝕄_{n}(k). Déterminer l’ensemble des matrices H ∈ 𝕄_{n}(k) telles que MH = HM pour toute matrice M ∈ 𝕄_{n}(k).

Exercice classique. Soit k un corps et A une k-algèbre de dimension finie. On suppose que A est intègre, c’est-à-dire que pour tous x, y ∈ A on a xy = 0 seulement si x = 0 ou y = 0. Montrer alors que A est un corps.

Micro-Frobenius. Soit K une algèbre de dimension finie sur ℂ qui est un corps. Montrer que K est (à isomorphisme canonique près) égale à ℂ.