Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Quatorzième semaine (intégrales)

David A. Madore ( )

Irrationnalité de π. On se propose de démontrer que le nombre π est irrationnel. Pour cela, on suppose par l’absurde que π = a/b. Posons p_{n}(x) = \frac{1}{n!}x^{n}(bx − a)^{n} et I_{n} = ∫_{0}^{π} p_{n}(x) sin x dx.

1) Montrer que I_{n} → 0 lorsque n → +∞.

2) Montrer que p_{n} et ses dérivées successives prennent des valeurs entières en 0 et π.

3) Montrer que I_{n} est entier pour tout n.

4) Conclure.

Théorème de Riemann-Lebesgue. Soit f: [a; b] → ℝ continue par morceaux. Montrer que

∫_{a}^{b} f(t) e^{int} dt → 0

lorsque n → +∞.

Lemme de van der Corput. Soient λ > 0, a < b réels, et f: ℝ → ℝ de classe C^{2} telle que f′′ ≥ λ. Montrer qu’il existe une constante C ne dépendant ni de f ni de a ni de b ni de λ telle que

|∫_{a}^{b} e^{if(t)} dt| ≤ \frac{C}{\sqrt{λ}}

(Étapes : Expliquer comment on peut se ramener à a = 0 et f′(0) = 0. On considère alors ∫_{0}^{b} e^{if(t)}dt. Intégrer par parties sur [x; b] en faisant apparaître if′(t) au numérateur et au dénominateur. Estimer l’intégrale, et choisir x judicieusement. Conclure.)

Une convolution. Soient φ, g: [a, b] → ℝ des fonctions continues avec φ ≥ 0 sur [a; b]. On suppose de plus que φ atteint sa borne supérieure en un seul point c ∈ [a; b]. Montrer qu’alors

\frac{∫_{a}^{b} φ(x)^{n} g(x) dx}{∫_{a}^{b} φ(x)^{n} dx} → g(c)

Démonstration complète (car cet exercice est à connaître absolument) : Supposons φ(c) = M, de sorte que φ(x) < M si x ≠ c. Posons h(x) = g(x) − g(c)

et I_{n} = \frac{∫_{a}^{b} φ(x)^{n} g(x) dx}{∫_{a}^{b} φ(x)^{n} dx}. Soit ε > 0 quelconque. Soit η > 0 tel que si |x − c| ≤ η

alors |h(x)| ≤ \frac{ε}{2} (ce qui est possible par continuité de g). Posons de plus N = sup_{[a;b]} |h| et M′ = sup_{[a;b]\]c−η;c+η[} φ. Puisque [a; b]\]c − η; c + η[= [a; c−η]∪[c+η; b] (du moins si η est assez petit, ce qu’on peut toujours supposer), φ atteint la valeur M′, et donc M′ < M. On pose alors M′′ = \frac{M+M′}{2} (ou, du reste, n’importe quel réel strictement compris entre M et M′). Soit enfin δ > 0 tel que si |x − c| ≤ δ alors φ(x) ≥ M′′ (ce qui est possible par continuité de φ). On a

I_{n} = g(c) + \frac{∫_{c−η}^{c+η} φ(x)^{n} h(x) dx}{∫_{a}^{b} φ(x)^{n} dx} + \frac{∫_{ailleurs} φ(x)^{n} h(x) dx}{∫_{a}^{b} φ(x)^{n} dx}

Appelons I′_{n} le second terme et I′′_{n} le troisième (bien sûr, ∫_{ailleurs} signifie ici ∫_{a}^{c−η} + ∫_{c+η}^{b}). Puisque |h(x)| ≤ \frac{ε}{2} sur [c−η; c+η], on a |I′_{n}| ≤ \frac{ε}{2}. Pour estimer I′′_{n}, on note tout d’une part que

|∫_{ailleurs} φ(x)^{n} h(x) dx| ≤ N(b − a)(M′)^{n}

et de l’autre que

∫_{a}^{b} φ(x)^{n} dx ≥ ∫_{c−δ}^{c+δ} φ(x)^{n} dx ≥ 2δ(M′′)^{n}

Par conséquent, on a

|I′′_{n}| ≤ \frac{N(b − a)}{2δ}λ^{n}

où λ = M′/M′′ < 1. Mais alors λ^{n} → 0 et il existe donc n_{0} ∈ ℕ tel que si n ≥ n_{0} alors |I′′_{n}| ≤ \frac{ε}{2}. On en déduit que si n ≥ n_{0}, on a |I_{n} − g(c)| ≤ |I′_{n}| + |I′′_{n}| ≤ ε ; et donc I_{n} → g(c), ce qu’il fallait démontrer.

Moyennes d’une fonction. Soit f: [a; b] → ℝ une fonction continue vérifiant m ≤ f(x) ≤ M pour tout x avec m > 0. Posons S(t) = [\frac{1}{b−a} ∫_{a}^{b} f(x)^{t} dx]^{1/t}.

1) Trouver lim_{t→0} S(t) (on utilisera un développement limité de f(x)^{t}).

2) Trouver lim_{t→+∞} S(t) (on considérera un petit intervalle autour du maximum).

3) Trouver lim_{t→−∞} S(t).