Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Treizième semaine (polynômes)

David A. Madore ( )

Exercice censé être très facile. Montrer que les fonctions ℝ → ℝ suivantes ne sont pas des polynômes : t ↦ e^{t}, t ↦ sin t, t ↦ ^{3} \sqrt{t}, t ↦ 1/(1 + t^{2}).

L’anneau k[X] est principal. Soit k un corps. On rappelle qu’un idéal 𝔞 de k[X] est un sous-groupe additif de k[X] tel que si P ∈ k[X] et Q ∈ 𝔞 alors P Q ∈ 𝔞. Si P ∈ k[X], montrer que l’ensemble (P) := {P Q: Q ∈ k[X]} est un idéal de k[X] (ceci est vrai dans n’importe quel anneau commutatif). Montrer réciproquement que tout idéal de k[X] est de cette forme (ceci est une propriété remarquable de l’anneau k[X] qui se traduit en disant que k[X] est “principal”).

Un résultat très important (mais pas en prépa). Soient k_{1} et k_{2} deux corps tels que k_{1} ⊆ k_{2} (on dit que k_{2} est une extension de corps de k_{1} — ce qui est implicite, c’est que les opérations d’addition et de multiplication dans k_{1} sont les restrictions de celles de k_{2}). On suppose que P, Q sont des éléments de k_{1}[X] et que Q divise P dans k_{2}[X]. Montrer que Q divise P dans k_{1}[X].

Remarque : Il s’agit là d’un théorème de descente. Les mathématiques abondent de résultats de montée ou de descente. Voici un autre exemple dans le même genre : si k_{1} ⊆ k_{2} sont des corps et x_{1}, …, x_{r} ∈ k_{1}^{s} sont linéairement indépendants dans le k_{2}-espace vectoriel k_{2}^{s} alors ils le sont encore dans le k_{1}- espace vectoriel k_{1}^{s}. Dans les deux cas, pour montrer le résultat le plus simple est de trouver une caractérisation “absolue”, dans un cas de la divisibilité (au moyen de la division euclidienne : le reste est nul), dans l’autre de l’indépendance linéaire (au moyen du déterminant) ; une autre méthode consisterait à faire appel à la “théorie de Galois”.

Sur les rationnels... Montrer que les polynômes X^{2}−2, X^{3}−2 et X^{4}−2 sont irréductibles dans ℚ[X].

Exercice plus difficile. On dit qu’un nombre complexe z est algébrique (sur ℚ) ssi il existe un polyôme P ∈ ℚ[X] non nul tel que P (z) = 0. Montrer que z est algébrique si et seulement si le ℚ-espace vectoriel engendré par 1, z, z^{2}, z^{3}, … est de dimension finie (c’est-à-dire admet une famille génératrice finie). En déduire que l’ensemble des nombres complexes algébriques sur ℚ est en fait un corps (on le note ℚ̄).