Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Douzième semaine (nombres complexes)

David A. Madore ( )

Introduction à la théorie de Galois. Première partie : le tracé du pentagone. Soit ζ = e^{2iπ/5}. On pose ω = ζ + ζ^{4} ; calculer ω^{2} + ω ; en déduire la valeur de ω ; calculer ζ^{2} − ωζ ; en déduire la valeur de ζ (c’est-à-dire une expression de ζ construite à partir des entiers en prenant des sommes, différences, produits, quotients, et racines carrées). En particulier, donner la valeur de cos \frac{2π}{5} . Deuxième partie : le tracé du polygone à 17 côtés (Gauss, âgé de 19 ans). Soit ζ = e^{2iπ/17}. On pose ω = ζ +ζ^{2} +ζ^{4} +ζ^{8} +ζ^{16} +ζ^{15} +ζ^{13} +ζ^{9} ; calculer ω^{2} + ω ; en déduire la valeur de ω ; on pose λ = ζ + ζ^{4} + ζ^{16} + ζ^{13} ; calculer λ^{2} − ωλ ; en déduire la valeur de λ ; on pose μ = ζ + ζ^{16} ; calculer μ^{2} − λμ ; en déduire la valeur de μ ; calculer ζ^{2} − μζ ; en déduire la valeur de ζ.

Remarque : Un nombre complexe est dit “constructible” s’il s’écrit ainsi avec des sommes, différences, produits, quotients et racines de rationnels. On montre que z est constructible si et seulement si on peut construire le point d’affixe z dans le plan en partant des points 0 et 1, avec un compas et une règle non graduée. Ainsi, le pentagone et l’heptadécagone sont constructibles à la règle non graduée et au compas. En fait, le polygône régulier à n sommets est constructible (i.e. ζ = e^{2iπ/n} l’est) si et seulement si n = 2^{r}p_{1} ⋯ p_{k} avec r un entier naturel et p_{1}, …, p_{k} des nombres premiers de Fermat distincts, c’est-à-dire des nombres premiers égaux à un plus une puissance de deux. Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et 65537.

Introduction aux réseaux elliptiques. Considérons l’ensemble E des couples (ω_{1}, ω_{2}) de complexes non nuls tels que ℑ(ω_{2}/ω_{1}) > 0 (où ℑ désigne la partie imaginaire). Si (ω_{1}, ω_{2}) ∈ E, on définit Λ(ω_{1}, ω_{2}) = {kω_{1} + ℓω_{2}: k, ℓ ∈ ℤ}. On définit une relation d’équivalence ∼ sur E par (ω_{1}, ω_{2}) ∼ (ω′_{1}, ω′_{2}) ssi Λ(ω_{1}, ω_{2}) = Λ(ω′_{1}, ω′_{2}). Montrer que dans ce cas, ℑ(ω_{1}ω̄_{2}) = ℑ(ω′_{1}ω̄′_{2}). Interprétation géométrique ?

Exercice de coloriage. On suppose données trois parties D_{1}, D_{2}, D_{3} de ℂ, deux à deux disjointes et telles que D_{1} ∪ D_{2} ∪ D_{3} = ℂ. Montrer qu’il existe deux complexes z, z′ appartenant à la même partie et tels que |z − z′| = 1.

Remarque : Ce qui est étrange, c’est que si on remplace 3 par 4, 5 ou 6, le problème est ouvert. En revanche, pour 7 parties, le résultat est faux.

Résolution de l’équation générale du troisième degré ; la méthode de Cardan. On se propose de décrire une méthode permettant de résoudre dans ℂ l’équation Ax^{3} + Bx^{2} + Cx + D = 0.

(i) Expliquer comment se ramener à x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0. (ii) Expliquer comment, par une translation, se ramener à x^{3} + px + q = 0. (iii) Résoudre l’équation en posant z = u + v où 3uv = −p.