Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Onzième semaine (ev)

David A. Madore ( )

Permutation de quantificateurs. Soit E un espace vectoriel sur un corps K, et f: E → E une application linéaire. On suppose que pour tout x ∈ E il existe λ ∈ K tel que f(x) = λx. Montrer qu’il existe λ ∈ K tel que pour tout x ∈ E on ait f(x) = λx. (Autrement dit, si l’image d’un vecteur x est toujours colinéaire^{∗} à celui-ci, alors f est une homothétie.)

Un peu de projecteurs. Soit E un espace vectoriel, et P l’ensemble de ses projecteurs. On définit une relation binaire sur ceux-ci par

p ≤ q ⟺ (pq = p et qp = p)

Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre. Comment la caractériser en termes d’images et de noyaux ? Est-ce une relation d’ordre total ?

Un peu d’indépendance linéaire. On considère le ℝ-espace vectoriel des applications continues ℝ → ℝ. Montrer que la famille (x ↦ e^{λx})_{λ∈ℝ} d’éléments de cet espace vectoriel (ici λ décrit ℝ) est libre (c’est-à-dire que toutes ses sous-familles finies sont libres). Plus difficile : montrer que la famille (x ↦ cos λx)_{λ∈ℝ_{+}} est libre. Question à deux sous : l’estelle encore si on remplace ℝ_{+} par ℝ (non, parce que sinon on ne poserait pas la question) ? Encore une indépendance : montrer que la famille (x ↦ |x − λ|)_{λ∈ℝ} est libre.

Avertissement : Quiconque commence à écrire des sommes infinies déraisonables (typiquement ∑_{λ∈ℝ} α_{λ}e^{λx} sans préciser que tous les α_{λ} sont nuls sauf un nombre fini) a toutes les chances de se faire tirer dessus à la mitrailleuse lourde au concours. Autre chose : c’est peut-être vicieux de ma part d’avoir utilisé λ comme paramètre de ma famille alors que je suis presque sûr que le cours utilise λ justement comme coefficient dans les combinaisons linéaires. Mais on ne résiste pas à un petit test, n’est-ce pas ?

Beaucoup de questions d’un coup. L’image/l’image réciproque par une application linéaire quelconque/in/sur/bijective d’une famille libre/génératrice/d’une base est-elle encore libre/génératrice/une base ?

Remarque : Évidemment, il faudra préciser ce qu’on entend par image réciproque d’une famille (x_{i})_{i∈I} par une application f. Normalement personne ne devrait commencer à traiter l’exercice avant d’avoir éclairci ce point. Je vois au moins deux définitions naturelles possibles : la famille obtenue en mettant ensemble, pour chaque i, toutes les images réciproques de x_{i}, ou bien la famille obtenue en prenant pour chaque i une image réciproque (s’il y en a) de x_{i}.

∗ En fait, cette dernière assertion est plus forte, puisque dire que x est colinéaire à y ne revient pas à dire que x = λy pour un certain λ (penser à y = 0). Mais ici, puisque f(0) = 0 de toute façon, cela ne fait pas de différence.