Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Dixième semaine (TAF, DL)

David A. Madore ( )

Moyennes. Soient x_{1}, …, x_{n} des réels strictement positifs. On pose M(t) = (\frac{x_{1}^{t}+···+x_{n}^{t}}{n})^{1/t}. Trouver la limite de M(t) en 0, +∞ et −∞.

Exercice destiné à mettre en évidence bien des difficultés. Donner un équivalent de arccos t quand t → 1^{−}. Préciser cet équivalent (i.e. donner un développement limité du rapport).

Théorème de Liouville. Soit f un polynôme à coefficients entiers, de degré n, et ξ une racine de f (autrement dit, on suppose que a_{n}ξ^{n} + ⋯ + a_{0} = 0 avec les a_{i} entiers), ξ irrationnel et f′(ξ) ≠ 0. Montrer qu’il existe une constante C > 0 telle que pour tout rationnel p/q (avec p ∈ ℤ et q ∈ ℕ^{∗}) on ait

|ξ − \frac{p}{q}| > \frac{C}{q^{n}}

(on dit que ξ ne peut pas être approché par des rationnels mieux qu’à l’ordre n).

Remarque : Le mathématicien anglais K. F. Roth a démontré que le n dans la formule ci-dessus peut être remplacé par n’importe quel réel strictement supérieur à 2. Ce résultat très profond lui a valu la médaille Fields^{∗} en 1958.

Exercice subtil (mais pas tant que ça). Soit A un anneau et x ∈ A un élément pour lequel il existe n ∈ ℕ tel que x^{n} = 0 (on dit que x est nilpotent). Montrer qu’il existe y ∈ A tel que y^{2} = (1 − x). [Indication : Utiliser le développement limité de \sqrt{1 − x}.]

Le sinus itéré. Soit x ∈]0; \frac{π}{2} [. On définit une suite (u_{n}) par récurrence en posant u_{0} = x et pour tout n, u_{n+1} = sin u_{n}. Montrer que u_{n} → 0. Donner la limite quand x → 0 de (sin x)^{−2} −x^{−2}, et en déduire celle de u_{n+1}^{−2} −u_{n}^{−2}, puis un équivalent de u_{n}^{−2}, et finalement de u_{n}.

∗ L’équivalent mathématique du prix Nobel.