Exercices de khôlle pour la MP^{*}

Année scolaire 1997-1998

Neuvième semaine (espaces euclidiens ; suites de fonctions)

David A. Madore ( )

Existence de simplexes réguliers. Soit E un espace vectoriel (ou affine) euclidien de dimension n. On appelle k-simplexe régulier unitaire dans E une suite finie P_{0}, …, P_{k} d’éléments de E tels que ∥P_{j} − P_{i}∥ = δ_{ij}. Montrer qu’il existe dans E des n-simplexes réguliers unitaires, que deux n-simplexes réguliers unitaires de E sont l’image l’un de l’autre par une isométrie affine, que si P_{0}, …, P_{n} est un n-simplexe régulier unitaire alors c’est une base affine de E, que la distance d’un point Q de E aux P_{i} détermine ce point, qu’il existe un unique point Z de E équidistant des P_{i} et que c’est \frac{1}{n+1}(P_{0} + ⋯ + P_{n}) (l’isobarycentre des P_{i}), et enfin qu’il n’existe pas de (n + 1)-simplexe régulier unitaire dans E.

Projection sur un convexe fermé. Soit E un espace euclidien et K ⊆ E un convexe fermé. Montrer que pour tout x ∈ E la distance de x à K est atteinte en un unique point de K, noté p(x). Montrer que pour tout x ∈ E et y ∈ K, on a (y − p(x)|x − p(x)) ≤ 0, et que cette propriété caractérise p(x). Montrer enfin que p est 1-lipschitzienne.

Limites simples de fonctions continues. On dit qu’une partie de ℝ est un F_{σ} ss’il est union dénombrable de fermés, un G_{δ} ss’il est intersection dénombrable d’ouverts (i.e. son complémentaire est un F_{σ}). Une fonction f: ℝ → ℝ est dite de la classe 1 de Baire ssi pour tout α les ensembles {x: f(x) > α} et {x: f(x) < α} sont des F_{σ}.

1) Montrer que les limites simples de fonctions continues sont dans la classe 1 de Baire.

2) Montrer que si A ⊆ ℝ est à la fois un F_{σ} et un G_{δ} (on dit que A est Δ_{2}^{0}) alors sa fonction indicatrice χ_{A} est limite simple de fonctions continues.

3) Montrer que si f_{n}: ℝ → ℝ convergent uniformément vers f et que f_{n} est limite simple de fonctions continues pour tout n alors f l’est aussi. [Indication : on se ramènera à supposer que ∥f_{n} − f∥_{∞} ≤ 2^{−n}, on écrira f_{n+1} − f_{n} comme la limite simple d’une suite de fonctions continues, uniformément majorée par 2^{−(n−1)}, et on resommera...]

4) On veut montrer que si f: ℝ → ℝ est de la classe 1 de Baire alors elle est limite simple de fonctions continues. Montrer qu’on peut pour cela se ramener au cas où l’image de f est contenue dans ]0; 1[.

5) On admet temporairement le résultat suivant : si ℝ est réunion d’un nombre fini A_{1}, …, A_{k} de F_{σ}, alors il existe des B_{i} ⊆ A_{i} qui sont à la fois des F_{σ} et des G_{δ} et tels que ℝ soit réunion de B_{1}, …, B_{k}. Montrer alors le résultat voulu.

6) Montrer que si A et B sont deux F_{σ} il existe deux F_{σ} A^{∗} et B^{∗} disjoints contenus respectivement dans A et B et ayant la même union qu’eux. (On dit que les F_{σ} ont la propriété de réduction.)

7) Conclure (c’est-à-dire montrer le résultat admis au 5).

Théorème d’Ascoli. Soit K un compact de ℝ et F un ensemble de fonctions de K dans ℝ telles que

(i) F est uniformément équicontinu, c’est-à-dire que pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que pour tous x, y ∈ K vérifiant |x − y| < δ et tout f ∈ F on ait |f(x) − f(y)| < ε.

(ii) F est ponctuellement borné, c’est-à-dire que pour tout x ∈ K l’ensemble {f(x): f ∈ F} est borné. Montrer qu’alors de toute suite (f_{n}) d’éléments de F on peut extraire une sous-suite

qui converge uniformément.

Fonctions réglées. On appelle fonction réglée (sur un intervalle compact I de ℝ) une limite uniforme de fonctions en escalier. Montrer qu’une fonction est réglée ssi elle admet en chaque point une limite à gauche et une limite à droite.

Reprise de la semaine dernière. Soit I un intervalle compact ne contenant pas d’entier. Montrer que ℤ[X] est dense dans C(I, ℝ) pour la topologie de la convergence uniforme.

Dini. Soit I un intervalle compact de ℝ, et f_{n} une suite de fonctions réelles continues sur I convergeant simplement vers une fonction f continue sur I. On suppose que f_{n}(x) croît quand n croît à x fixé (resp. quand x croît à n fixé) : montrer que la convergence est uniforme.

Exercice de coloriage. On suppose que le plan euclidien est partitionné en trois parties. Montrer qu’il existe deux points à distance 1 l’un de l’autre situés dans la même partie. Montrer que le résultat est incorrect si on remplace “trois” par “sept”.

Remarque : Pour un nombre de parties compris entre quatre et six, il s’agit là d’un problème ouvert.

Exercice nacsze. Soit (P_{i}) une famille de points du plan euclidien tels que trois quelconques d’entre eux soient non alignés et que |P_{i} − P_{j}| soit toujours un entier. Montrer que la famille est finie.