Exercices de khôlle pour la MP^{*}

Année scolaire 1997-1998

Septième semaine (réduction, analyse locale)

David A. Madore ( )

Exercice de non cofinalité. Soit (f_{n}) une suite de fonctions de ℝ vers ℝ. Montrer qu’il existe f: ℝ → ℝ telle que f_{n}(t) = o(f(t)) lorsque t → +∞ pour tout t.

Exercice assez remarquable. Soit A une algèbre commutative de dimension finie n sur ℂ. On suppose que A est réduite, c’est-à-dire n’a pas d’éléments nilpotents autres que 0. Montrer que A ≅ ℂ^{n} (en tant qu’algèbre).

Exercice presque aussi remarquable. Soit A une algèbre commutative de dimension finie n sur ℂ. On suppose que A est connexe, c’est-à-dire n’a pas d’éléments idempotents autres que 0 et 1 (i.e. x^{2} = x implique x = 0 ou x = 1). Montrer que A est engendrée sur ℂ (en tant qu’algèbre) par un nombre fini d’éléments nilpotents.

Remarque : Ces deux exercices, même s’il n’y paraît pas, sont en fait des exercices de géométrie algébrique : une algèbre commutative engendrée sur ℂ (en tant qu’algèbre) par un nombre fini d’éléments correspond à ce que l’on appelle encore un “schéma affine algébrique sur ℂ”. L’hypothèse que l’algèbre est de dimension finie se traduit en disant que le schéma est “artinien”, c’est-à-dire géométriquement de dimension 0 ; dans le premier exercice, on montre que si le schéma est sans déformations infinitésimales, c’est une simple réunion de n points, et dans le second, on montre que s’il est connexe, c’est un point avec une déformation infinitésimale.

Germes de fonctions. Soit a ∈ ℝ, et H_{a} l’ensemble des germes de fonctions C^{∞} au voisinage de a, c’est-à-dire l’ensemble des fonctions C^{∞} définies au voisinage de a dans lequel on identifie deux fonctions qui coïncident sur un voisinage de a. Montrer que H_{a} est un anneau. Montrer que H_{a} a un unique idéal maximal 𝔪_{a} (on appelle idéal maximal 𝔪 d’un anneau A un idéal de A différent de A et qui n’est inclus dans aucun autre idéal de A différent de A) : on dit que l’anneau H_{a} est \underline{local}. Que vaut H_{a}/𝔪_{a} ? Quelle est la dimension de 𝔪_{a}/𝔪_{a}^{2} comme H_{a}/𝔪_{a}-espace vectoriel ? Comment peut-on interpréter la classe dans 𝔪_{a}/𝔪_{a}^{2} d’une fonction C^{∞} au voisinage de a et s’annulant en a ? Montrer que l’anneau local H_{a} est \underline{hensélien}, c’est-à-dire que si P est un polynôme unitaire de H_{a}[X] et que la classe P̄ de P dans (H_{a}/𝔪_{a})[X] s’écrit P̄ = Q̄R̄ avec Q̄ et R̄ unitaires et étrangers, alors il existe Q, R dans H_{a}[X] tels que P = QR et que Q̄ et R̄ soient les classes respectives de Q et R dans (H_{a}/𝔪_{a})[X].

Un problème posé dans les news (donc trop facile :-). Soit M une matrice de 𝕄_{n}(ℂ) n’ayant que 1 comme valeur propre et telle que ∥M∥ = 1 (où ∥ · ∥ est une norme d’algèbre sur 𝕄_{n}(ℂ)). Montrer que M = 1.

Formule du rayon spectral. Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel normé complexe E. On notera ∥u∥ pour la norme de u comme endomorphisme, et ∥u∥_{s} pour le plus grand module d’une valeur propre de u (le rayon spectral de u). Montrer que

∥u∥_{s} = lim_{n→+∞} ∥u^{n}∥^{1/n}

Semisimplicité. Soit T un endomorphisme d’un espace vectoriel E complexe de dimension finie. On dit que T est semisimple ssi tout sous-espace vectoriel de E stable par T admet un supplémentaire stable par T. Montrer que T est semisimple ssi T est diagonalisable. Ce résultat demeure-t-il vrai dans le cas où le corps de base est ℝ ? [Tout cela est peut-être un peu trop facile en MP*.]