Exercices de khôlle pour la MP^{*}

Année scolaire 1997-1998

Sixième semaine (divers)

David A. Madore ( )

Anti-peano. Soit f: [0; 1] → [0; 1]^{2} de classe C^{1}. Montrer que f n’est pas surjective.

Exercice idiot. Soient A, B deux matrices carrées n × n réelles telles que A^{2} + B^{2} = AB et AB − BA est inversible. Montrer que 3|n.

Exercice assez remarquable. Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie n. Montrer qu’il existe une base e_{1}, …, e_{n} de E telle que ∥e_{i}∥ = 1 et ∥e_{i}^{∗}∥_{∗} = 1 pour tout i (où e_{1}^{∗}, …, e_{n}^{∗} est la base duale et ∥ · ∥_{∗} la norme dans le dual).