Exercices de khôlle pour la MP^{*}

Année scolaire 1997-1998

Troisième semaine (dualité, matrices ; espaces métriques)

David A. Madore ( )

Exercice rigolo. Soit (u_{n}) une suite réelle. On pose v_{n} = u_{n+1} − u_{n} et w_{n} = v_{n+1} − v_{n}. On suppose que u_{n} est bornée et que w_{n} converge. Montrer que v_{n} et w_{n} tendent vers 0.

Exercice classique. Trouver les idéaux bilatères, les idéaux à gauche et les idéaux à droite de l’anneau 𝕄_{n}(ℂ).

Objet universel dans la catégorie des exercices classiques. Montrer que toute forme linéaire sur 𝕄_{n}(ℂ) est de la forme M ↦ Tr(AM) avec A une certaine matrice.

Encore un super-classique. Soient A et B deux matrices réelles semblables sur ℂ. Montrer qu’elles le sont sur ℝ.

Plus difficile. Soit M une matrice de trace nulle ; montrer qu’il existe A et B tels que M = AB − BA. [Indications : 1) Montrer par construction récurrencielle d’une base que M est semblable à une matrice de diagonale nulle. 2) En supposant donc que M est de diagonale nulle, on peut prendre pour A une matrice purement diagonale.]

Objet couniversel dans la catégorie des exercices classiques. On suppose que A et B sont des matrices carrées, et que 1 − AB est inversible (1 étant la matrice identité, bien sûr) : montrer que 1 − BA l’est aussi.

Skolem-Noether. Soit Φ un automorphisme de l’algèbre 𝕄_{n}(ℂ). Montrer qu’il existe A matrice inversible telle que Φ(M) = AMA^{−1} pour tout M. Pour cela, on pourra montrer que Φ transforme un projecteur de rang 1 en projecteur de rang 1 ; on expliquera ensuite pourquoi on peut supposer que Φ laisse stable un tel projecteur p ; enfin, on conclura en regardant l’image par Φ des projecteurs de même noyau que p.

Un résultat simple (jeu de mot stupide). Soit K un corps fini de caractéristique différente de 2 et ayant au moins 7 éléments. Dans le groupe SL_{2}(K) des matrices 2 × 2 de K de déterminant 1, on définit une relation d’équivalence ∼ par M ∼ M′ ssi M = M′ ou M = −M′.

1) Montrer qu’on définit une loi de composition sur les classes pour ∼ par M̄N̄ = \overline{MN}, et que SL_{2}(K)/ ∼ (l’ensemble des classes) muni de cette loi est un groupe. Ce groupe sera noté P SL_{2}(K). Le but de l’exercice est de montrer que P SL_{2}(K) n’a pas de sous-groupe distingué autre que {1} et lui-même.

2) Si H est distingué dans SL_{2}(K) et que H contient une transvection, montrer que H = SL_{2}(K).

3) Si M est une matrice 2 × 2 sur K, inversible, montrer que M est semblable à une

matrice diagonale où à une matrice de la forme ( \begin{matrix}0 & α \\ 1 & β \end{matrix} ).

4) En déduire que si H est distingué dans SL_{2}(K) et contient une matrice qui n’est

pas une homothétie, alors il contient une matrice ( \begin{matrix}α & 0 \\ 0 & α^{−1} \end{matrix} ) où α ∉ \{±1\}, ou une

matrice ( \begin{matrix}0 & −μ^{−1} \\ μ & β \end{matrix} ).

5) Sous ces hypothèses, montrer que H = SL_{2}(K).

6) Conclure.

7) Calculer le cardinal de P SL_{2}(K).

Remarque : Dans le cas K = 𝔽_{p}, ce résultat est dû à Camille Jordan (vers 1870). On a ainsi défini toute une famille de groupes simples. En fait, P SL_{n}(𝔽_{q}) est toujours simple sauf pour quelques cas isolés (p.e. P SL_{2}(𝔽_{3})). Plus généralement, Claude Chevalley a montré comment on pouvait obtenir des groupes simples à partir de groupes de Lie (comme P SL_{n}(ℂ) ici). Presque tous les groupes simples finis sont soit de type Lie, soit alternés, soit cycliques d’ordre premier ; il n’y a que 26 exceptions.