Exercices de khôlle pour la MP^{*}

Année scolaire 1997-1998

Deuxième semaine (EV, algèbres ; espaces métriques)

David A. Madore ( )

Très zouli. Soit f: ℝ^{m} → ℝ^{m} continue, et u_{0} ∈ ℝ^{m}. On définit (u_{n})_{n∈ℕ} par récurrence par u_{n+1} = f(u_{n}) pour tout n ∈ ℕ.

On suppose que la suite (u_{n}) admet une unique valeur d’adhérence ; montrer qu’elle converge vers cette valeur.

La classique tétralogie des compacts. Dans ce qui suit, X est un espace métrique compact, dont la distance est notée d.

1) On suppose que f: X → X vérifie d(f(x), f(y)) < d(x, y) pour tous x, y ∈ X distincts. Montrer que f admet un point fixe unique dans f. Est-il vrai que toute suite définie par itération de f converge vers ce point fixe ?

2) On suppose que f: X → X vérifie d(f(x), f(y)) = d(x, y) pour tous x, y ∈ X. Montrer que f est bijective.

3) On suppose que f: X → X est continue et vérifie d(f(x), f(y)) ≥ d(x, y) pour tous x, y ∈ X. Montrer que cette inégalité est en fait une égalité.

4) On suppose que f: X → X est bijective et vérifie d(f(x), f(y)) ≤ d(x, y) pour tous x, y ∈ X. Montrer que cette inégalité est en fait une égalité.

Théorème de Riesz. Soit E un espace vectoriel normé de dimension infinie, et B la boule unité fermée de E. On se propose de montrer que B n’est pas compacte. Pour cela, on suppose par l’absurde qu’elle l’est.

1) Montrer qu’il existe x_{1}, …, x_{n} ∈ E tels que B soit recouverte par l’union des B_{i} = B(x_{i}, \frac{1}{2}).

2) Montrer qu’il existe y ∈ E dont la distance δ à Vect(x_{1}, …, x_{n}) soit strictement positive.

3) En considérant un élément z de Vect(x_{1}, …, x_{n}) dont la distance à y soit inférieure à \frac{3}{2}δ, aboutir à une contradiction.

Séparabilité et cardinal des métriques compacts. Soit K un espace métrique compact. Montrer que K a une partie dénombrable dense (on dit que K est séparable). Montrer qu’il existe une injection de K dans ℕ^{ℕ} (on dit que K a au plus la puissance du continu). Ces deux assertions subsistent-elles pour un espace métrique quelconque ?

Espaces vectoriels sur les corps finis. Soit K un corps ayant n éléments, et E un K-espace vectoriel. Montrer que E ne peut pas s’écrire comme la réunion de n ou moins sous-espaces vectoriels propres, mais peut toujours s’écrire comme la réunion de n + 1 sous-espaces vectoriels propres, du moins tant que l’espace vectoriel en question n’est pas une droite ou nul (pour cette dernière partie, on admettra que tout K-espace vectoriel est isomorphe à K^{I} pour un certain ensemble I).

Trop facile. Montrer que la famille (ln p), où p parcourt l’ensemble des nombres premiers, est libre sur ℚ.

Beaucoup plus difficile. Montrer que la famille (\sqrt{n}), où n parcourt l’ensemble des naturels sans facteur carré, est libre sur ℚ.

Distraction triangulaire. 1) Soient A, B deux parties d’un espace métrique, et x un point de cet espace. Montrer que d(A, B) ≤ d(x, A) + d(x, B). 2) L’affirmation suivante est-elle vraie : si A est une partie d’un espace métrique, et x, y deux points de cet espace, alors d(x, y) ≤ d(x, A) + d(y, A) ?

Assez facile. Soit A une algèbre de Banach (c’est-à-dire une algèbre normée vérifiant ∥xy∥ ≤ ∥x∥ ∥y∥ pour tous x, y de A). Montrer que tout idéal maximal de A est fermé (par un idéal maximal, on entend un idéal [bilatère] qui n’est strictement contenu dans aucun autre idéal [bilatère] autre que A). Montrer que tout morphisme d’algèbre de A vers ℝ est continu. Montrer que l’ensemble des éléments inversibles de A est un ouvert.