Exercices de khôlle pour la MP^{*}

Année scolaire 1997-1998

Première semaine (Algèbre)

David A. Madore ( )

Exercice trivial que pourtant personne n’a encore résolu de manière satisfaisante. A et B étant deux ensembles, préciser

1) Les inclusions entre P(A ∩ B) et P(A) ∩ P(B).

2) Les inclusions entre P(A ∪ B) et P(A) ∪ P(B).

3) Les implications entre P(A) ⊆ P(B) et A ⊆ B.

4) Les implications entre P(A) ∈ P(B) et A ∈ B.

Théorème de Cantor-Bernstein. Soient X et Y deux ensembles, f: X → Y et g: Y → X deux injections. Montrer qu’il existe une bijection h: X → Y.

Classiquissime. Soit G un groupe fini, et H un sous-groupe dont l’indice est le plus petit diviseur premier de l’ordre de G. Montrer que H est distingué.

Exercice surtout difficile à comprendre. Montrer qu’un groupe finiment engendré (i.e. de type fini) n’admet qu’un nombre fini de sous-groupes d’indice fini \underline{donné}.

Super-exo-groupo-introuvable. On se donne un groupe G, et un automorphisme involutif λ: G → G dont le seul point fixe est 1. Montrer... que G est abélien.

Indication : Montrer que tout élément de G est de la forme λ(t)t^{−1}.

Remarque : En fait, ce résultat n’est pas aussi isolé qu’il semble l’être : si on remplace l’hypothèse de l’involutivité de λ par une hypothèse “λ est d’ordre k”, on montre alors que G est nilpotent, et son indice de nilpotence est au plus k − 1. Pour k = 2, on obtient le résultat ci-dessus.

Théorème de Lagrange. On se propose de montrer que tout naturel n est la somme des carrés de quatre entiers. En utilisant l’identité suivante

(x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2})(x^{′2} + y^{′2} + z^{′2} + t^{′2})
=(xx′ + yy′ + zz′ + tt′)^{2} + (xy′ − yx′ − zt′ + tz′)^{2}
+(xz′ + yt′ − zx′ − ty′)^{2} + (xt′ − yz′ + zy′ − tx′)^{2}

expliquer pourquoi on peut supposer n = p premier. En considérant les résidus modulo p de 0^{2}, 1^{2}, …, (\frac{p−1}{2})^{2} d’une part, et de −1−0^{2}, −1−1^{2}, …, −1−(\frac{p−1}{2})^{2} de l’autre, montrer qu’il existe x, y, z, t entiers et 0 < m < p tels que x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2} = mp. Soit l le plus petit tel m : il s’agit donc de montrer que l = 1. Par un argument de parité, montrer que l est impair. Supposons à présent l > 1, et soient x′, y′, z′, t′ les résidus de x, y, z, t respectivement modulo l. En considérant x^{′2} + y^{′2} + z^{′2} + t^{′2}, aboutir à une contradiction.

Exercice mystificateur. Montrer que pour n < A, avec A le plus grand possible (au moins A = 3 × 10^{6}), il existe n′ ≠ n vérifiant φ(n′) = φ(n) (où φ est la fonction indicatrice d’Euler).

Remarque : On conjecture que ce résultat est vrai pour tout n.

Indication : On rappelle que :

a) Si a ∧ b = 1 alors φ(ab) = φ(a) φ(b).

b) Si a | b alors φ(ab) = aφ(b). On montrera le résultat d’abord pour tous les nombres impairs, puis pour les nombres pairs non multiples de 4, puis pour les multiples de 4 mais non de 12, puis pour les multiples de 12 mais non de 36, puis...

Exercice annulaire. Dans un anneau montrer que :

1) Un élément admettant un unique inverse à gauche est inversible.

2) Un élément admettant au moins deux inverses à gauche en a une infinité.

D’après OIM. Montrer qu’il n’existe pas φ: ℤ → ℤ vérifiant φ(φ(k)) = k + 1997 pour tout k.