Exercices de khôlle pour la MP^{*}

Année scolaire 1997-1998

Vingt-quatrième et dernière semaine (BEST OF)

David A. Madore ( )

On a regroupé ici des exercices courts mais instructifs (“Short but Sweet”) dans un grand nombre de domaines. Les signes ¶ signalent les exercices plus difficiles.

Groupes. Montrer qu’un groupe finiment engendré (i.e. de type fini) n’admet qu’un nombre fini de sous-groupes d’indice fini \underline{donné}.

¶Groupes. On se donne un groupe G, et un automorphisme involutif λ: G → G dont le seul point fixe est 1. Montrer... que G est abélien.

Anneaux. Dans un anneau montrer que :

1) Un élément admettant un unique inverse à gauche est inversible. ¶2) Un élément admettant au moins deux inverses à gauche en a une infinité.

Topologie. Soit f: ℝ^{m} → ℝ^{m} continue, et u_{0} ∈ ℝ^{m}. On définit (u_{n})_{n∈ℕ} par récurrence par u_{n+1} = f(u_{n}) pour tout n ∈ ℕ.

On suppose que la suite (u_{n}) admet une unique valeur d’adhérence ; montrer qu’elle converge vers cette valeur.

¶Nombres. Montrer que la famille (\sqrt{n}), où n parcourt l’ensemble des naturels sans facteur carré, est libre sur ℚ.

Nombres. Montrer qu’un entier pair n est égal à la somme de ses diviseurs autres que lui-même si et seulement si n = 2^{ℓ−1}(2^{ℓ} − 1) avec 2^{ℓ} − 1 premier.

Matrices. Soient A et B deux matrices réelles semblables sur ℂ. Montrer qu’elles le sont sur ℝ.

Matrices. Soient A, B deux matrices carrées n × n réelles telles que A^{2} + B^{2} = AB et AB − BA est inversible. Montrer que 3|n.

Normes. Soit E un espace vectoriel normé. Montrer qu’il n’existe pas d’applications linéaires continues u, v: E → E vérifiant uv − vu = id_{E}.

Normes. Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel normé complexe E. On notera ∥u∥ pour la norme de u comme endomorphisme, et ∥u∥_{s} pour le plus grand module d’une valeur propre de u (le rayon spectral de u). Montrer que

∥u∥_{s} = lim_{n→+∞} ∥u^{n}∥^{1/n}

Polynômes. Soit I un intervalle réel compact ne contenant pas d’entier. Montrer que toute fonction réelle continue sur I est limite uniforme de fonctions de ℤ[X].

Intégrales. Soit f: ℝ_{+} → ℝ de carré intégrable. Montrer que ∫_{0}^{x} f(t) dt = o(\sqrt{x}).

Séries. Montrer que la somme des \frac{1}{n} où n parcourt l’ensemble des entiers dans l’écriture décimale desquels ne figure pas le chiffre 3, est convergente (et accessoirement encadrer cette somme).