Exercices de khôlle pour la MP^{*}

Année scolaire 1997-1998

Vingtième semaine (calcul différentiel)

David A. Madore ( )

Exercice que personne n’a jamais réussi à résoudre de façon satisfaisante. Soit f: U → ℝ^{n} une fonction de classe C^{1} sur un ouvert U de ℝ^{n}. On suppose que pour tout x ∈ U la différentielle df(x) est une isométrie. Montrer que f elle-même est localement une isométrie. On suppose maintenant U connexe: montrer que f est une isométrie.

Principe du maximum pour les fonctions harmoniques. On désigne par B la boule unité ouverte de ℝ^{n}, B̄ la boule unité fermée et S = B̄ \ B la sphère unité.

(1) Soit f: B̄ → ℝ une fonction continue sur B̄ et C^{2} sur B telle que f|_{S} ≤ 0 et Δf ≥ 0. On suppose qu’il existe ξ ∈ B tel que f(ξ) > 0. Montrer que pour ε > 0 assez petit la fonction f(x) + ε(∥x∥^{2} − 1) atteint son maximum en un point ξ_{0} ∈ B. Montrer que Δf(ξ_{0}) < 0.

(2) Soit f: B̄ → ℝ une fonction continue sur B̄ et C^{2} sur B telle que Δf = 0 (on dit que f est harmonique): montrer que les bornes de f sur B̄ coïncident avec celles sur S.

Les anneaux locaux henséliens contre-attaquent. On appelle germe en 0 de fonction C^{∞} de ℝ^{n} dans ℂ une fonction C^{∞} définie sur un voisinage ouvert de 0 dans ℝ^{n} et à valeurs complexes. On identifie deux telles fonctions lorsqu’elles coïncident sur un voisinage de 0. L’addition et la multiplication des fonctions définissent une addition et une multiplication sur les germes de fonctions C^{∞}, et munissent leur ensemble d’une structure d’anneau, A. Montrer que cet anneau possède un unique idéal maximal 𝔪, l’idéal des germes s’annulant en 0. Montrer la propriété suivante: si P ∈ A[T] est un polynôme unitaire à coefficients dans A, disons P (T) = a_{0}(x) + a_{1}(x) T + ⋯ + T^{n}, et P̄(T) = a_{0}(0) + a_{1}(0) T + ⋯ + T^{n} ∈ ℂ[T] sa réduction modulo 𝔪, et qu’on a P̄(t) = q(t) r(t) dans ℂ[T], avec q(T), r(T) des polynômes premiers entre eux, alors il existe Q(T), R(T) ∈ A[T] tels que P (T) = Q(T) R(T) dans A[T] et q(T) = Q̄(T) et r(T) = R̄(T). (Dans ces circonstances, on dit que A est un anneau local hensélien.)

Critère différentiel de netteté. Soient U, V des ouverts de ℝ^{m} et ℝ^{n} respectivement. On appelle forme différentielle sur U une fonction de classe C^{∞} sur U et à valeurs dans le dual de ℝ^{m} (typiquement, la différentielle d’une fonction C^{∞} de U dans ℝ). On obtient une définition semblable, mutatis mutandis pour V. On note Ω_{U}^{1} le ℝ-espace vectoriel des formes différentielles sur U. Soit maintenant φ: U → V une application C^{∞}: lorsque ω ∈ Ω_{V}^{1} , on définit φ^{∗}ω ∈ Ω_{U}^{1} par φ^{∗}ω(x) = ω(φ(x)) ∘ dφ(x) pour x ∈ U (comparer avec formule de composition: on a d(f ∘ φ) = φ^{∗}df). On note Ω_{U/V}^{1} le quotient de Ω_{U}^{1} par le sous-espace vectoriel engendré par les fφ^{∗}ω avec f ∈ C^{∞}(U, ℝ) et ω ∈ Ω_{V}^{1} , et on dit que φ est nette (ou non ramifiée) lorsque Ω_{U/V}^{1} = 0. En résumé, cela signifie que pour toute forme différentielle β sur U il existe des fonctions f_{1}, …, f_{r} de classe C^{∞} sur U et des formes différentielles α_{1}, …, α_{r} sur V telles que β = f_{1}φ^{∗}α_{1} + ⋯ + f_{r}φ^{∗}α_{r}. On demande de trouver une condition nécessaire et suffisante pour que φ soit nette.

Bon, d’accord, c’est un peu trop difficile, peut-être. D’ailleurs, je ne sais pas le résoudre...