Exercices de khôlle pour la MP^{*}

Année scolaire 1997-1998

Seizième semaine (géométrie plane ; séries ; séries entières)

David A. Madore ( )

Cyborhizoextraction matricielle^{∗}. Soit M ∈ 𝕄_{n}(ℂ) telle que M − I_{n} soit nilpotente. Montrer qu’il existe N ∈ 𝕄_{n}(ℂ) telle que N^{3} = M.

Sommations abéliennes des séries divergentes. Soit (λ_{n}) une suite (ponctuellement) décroissante de fonctions positives sur [0, 1] tendant vers 1 en 0. Soit (Σa_{n}) une série réelle. Pour t > 0, on pose, si cela a un sens,

f(t) = ∑_{k=0}^{+∞} a_{n}λ_{n}(t)

On dit que la série (Σa_{n}) est “sommable par la méthode abélienne définie par (λ_{n})” lorsque (i) f(t) existe pour t assez petit, et (ii) lim_{t→0} f(t) existe. Dans ce cas, lim_{t→0} f(t) s’appelle la somme de la série (Σa_{n}) pour la méthode abélienne.

1) Montrer que si (Σa_{n}) est convergente alors elle est sommable pour toute méthode abélienne, et que sa somme est bien la somme prédite par la méthode abélienne.

2) Montrer que les méthodes abéliennes de sommation ne présentent aucun intérêt pour les séries à termes positifs, c’est-à-dire qu’elles somment exactement les séries (absolument) convergentes.

3) On suppose que les sommes partielles de (Σa_{n}) ne sont ni majorées ni minorées : montrer qu’il existe alors une méthode abélienne qui somme (Σa_{n}) et que de plus on peut lui donner n’importe quelle somme réelle par ce procédé.

4) On pose λ_{n}(t) = e^{−tn} : utiliser cette méthode abélienne pour sommer (Σ(−1)^{n}) puis (Σ(−1)^{n}n). Cette méthode de sommation s’appelle méthode d’Abel : pourquoi ?

Remarque : La méthode λ_{n}(t) = e^{−t n log n} s’appelle méthode de Lindelöf : elle somme les séries entières sur leur “étoile de Mittag-Leffler”, c’est-à-dire le plus grand ouvert étoilé autour de l’origine sur lequel il existe un prolongement analytique. Par exemple, la méthode de Lindelöf somme (Σ(−2)^{n}), laquelle a pour somme \frac{1}{3} (comme on le voit en introduisant −2 dans la formule ∑_{k=0}^{+∞} x^{k} = \frac{1}{1−x}). La méthode λ_{n}(t) = e^{−t n log n log log n} s’appelle méthode de Hardy-Jurkat, et elle est beaucoup plus puissante, puisqu’elle somme les séries multisommables au sens de Gevrey, par exemple (Σ(−1)^{n}n!), qui a pour somme ∫_{0}^{+∞} \frac{e^{−u}}{1+u}. On peut encore utiliser des méthodes plus “brutales” comme λ_{n}(t) = e^{−tn^{α}}, mais de manière générale, plus une méthode somme des séries fortement divergentes moins elle en sommera des faiblement divergentes (en particulier, les séries entières dans leur étoile de Mittag-Leffler).

Théorème taubérien faible. Soit f(x) = ∑_{n=0}^{+∞} a_{n}x^{n} une série entière telle que a_{n} = o(1/n). On suppose que f(x) → ℓ lorsque x → 1^{−}. Montrer que (∑ a_{n}) converge et que sa somme est ℓ.

∗ Il s’agit, naturellement, de l’art d’extraire les racines cubiques des matrices.

Bis repetita placent. Donner un équivalent lorsque x → 1^{−} de f(x) = ∑_{n=0}^{+∞} x^{n^{2}}.

Formule de Cauchy et théorème de Liouville. Soit f(z) = ∑_{n=0}^{+∞} a_{n}x^{n} une série entière de rayon de convergence R. Montrer que pour tout r < R on a a_{n} = \frac{1}{2πr^{n}} ∫_{0}^{2π} f(re^{iθ}) e^{−inθ} dθ. En déduire qu’une série entière de rayon de convergence infini et bornée sur ℂ est constante.

Théorème de Borel. On admet l’existence d’une fonction φ: ℝ → ℝ de classe C^{∞} à support compact et valant 1 sur un voisinage de l’origine. Montrer que pour toute série formelle (Σa_{n}x^{n}) il existe une fonction f: ℝ → ℝ de classe C^{∞} dont c’est la série de Taylor à l’origine.

Exercice à stûsss. Pour tout naturel n on note b_{n} le nombre de chiffres 1 dans l’écriture binaire de n. Calculer la somme de la série (Σ\frac{b_{n}}{n(n+1)}).

Exercice distrayant. Montrer que la somme des \frac{1}{n} où n parcourt l’ensemble des entiers dans l’écriture décimale desquels ne figure pas le chiffre 3, est convergente (et accessoirement encadrer cette somme).