Exercices de khôlle pour la MP^{*}

Année scolaire 1997-1998

Quinzième semaine (géométrie plane ; séries)

David A. Madore ( )

Exercice facile. Soit (x_{i})_{i∈I} une famille sommable de réels. Montrer que le support {i ∈ I: x_{i} ≠ 0} de la famille est dénombrable.

Résultat intéressant. Soit f: ℝ^{n} → ℝ^{n} telle que pour toute série (Σa_{n}) convergente la série (Σf(a_{n})) soit encore convergente : montrer que f est linéaire au voisinage de 0 (c’est-à-dire que f coïncide, sur un voisinage de 0, avec une application linéaire).

Exercice pour épater la gallerie. Quelle est la nature de la série (Σ sin((1 + \sqrt{2})^{n}π)) ?

Un critère de permutation des séries. Soit (Σu_{n}) une série convergente, et soit σ: ℕ → ℕ une permutation de ℕ. On suppose que |σ(n) − n| sup_{m≥n} |u_{σ(m)}| tend vers 0 quand n tend vers +∞. Montrer que la série (Σu_{σ(n)}) est convergente et a même somme que (Σu_{n}). [Pour cela, on considérera ∑_{k=0}^{n} u_{σ(k)}−∑_{k=0}^{n} u_{k} (avec n grand) et on introduira le plus petit h tel que σ(h) > n, de sorte que dans la différence ci-dessus il y a au moins h termes qui s’annulent.]

Remarque : Cet exercice se trouve dans Bourbaki (Topologie Générale, chapitre IV, §7, exercice 12, page 60 dans la nouvelle édition) mais avec une erreur (|u_{m}| au lieu de |u_{σ(m)}|).

Exercice. Pour tout naturel n non nul, on note σ(n) la somme des diviseurs de n. Montrer que ∑_{n≤x} σ(n) = \frac{1}{12}π^{2}x^{2} + O(x ln x). On admettra que ∑_{k=1}^{+∞} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6} .

Résolution : On a

∑_{n≤x} σ(n) = ∑_{n≤x} ∑_{d|n} \frac{n}{d} = ∑_{d≤x} ∑_{d|n≤x} \frac{n}{d} = ∑_{d≤x} ∑_{m≤x/d} m

Or ∑_{m≤x/d} m = \frac{1}{2}⌊\frac{x}{d}⌋(⌊\frac{x}{d}⌋ + 1) = \frac{1}{2}(x/d)^{2} + O(x/d), et ∑_{d≤x} \frac{1}{d^{2}} = \frac{π^{2}}{6} + O(1/x),
et enfin ∑_{d≤x} \frac{1}{d} = O(ln x). On en déduit le résultat.

Cheveu sur la soupe. Soit a_{n} une suite de réels positifs. On considère la partie de ℓ^{2} définie par

K = {(u_{n}): ∀n |u_{n}| ≤ a_{n}}

À quelle condition (nécessaire et suffisante) cette partie est-elle compacte ?

Exercice déjà donné. Soit (A_{i})_{i∈I} une famille de points du plan, trois quelconques d’entre eux n’étant jamais alignés. On suppose que la distance entre deux quelconques des A_{i} est un entier. Montrer que I est fini.