Exercices de khôlle pour la MP^{*}

Année scolaire 1997-1998

Quatorzième semaine (géométrie plane ; séries)

David A. Madore ( )

Résultat intéressant. Soit f: ℝ^{n} → ℝ^{n} telle que pour toute série (Σa_{n}) convergente la série (Σf(a_{n})) soit encore convergente : montrer que f est linéaire au voisinage de 0 (c’est-à-dire que f coïncide, sur un voisinage de 0, avec une application linéaire).

Résultat surprenant. Soit (Σa_{n}) semi-convergente (c’est-à-dire convergente mais non absolument convergente). Montrer que pour tout x ∈ ℝ il existe σ: ℕ → ℕ bijective telle que la série (Σa_{σ(n)}) converge et ait x pour somme.

Exercice pour épater la gallerie. Quelle est la nature de la série (Σ sin((1 + \sqrt{2})^{n}π)) ?

Exercice plus facile qu’il n’y paraît. Soit (Σu_{n}) une série à termes strictement positifs, convergente, de somme S. On suppose de plus que pour tout n on a u_{n} ≤ ∑_{k=n+1}^{+∞} u_{k}. Montrer que pour tout x ∈ [0; S] il existe K ⊆ ℕ telle que x = ∑_{k∈K} u_{k}.

Théorème de Mertens. Soit (Σa_{n}) une série absolument convergente et (Σb_{n}) une série convergente. On pose c_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{n−k} (ce qui s’écrit encore (c_{n}) = (a_{n})∗(b_{n})). Montrer que la série (Σc_{n}) est convergente et donner sa somme.

Exercice déjà donné. Soit (A_{i})_{i∈I} une famille de points du plan, trois quelconques d’entre eux n’étant jamais alignés. On suppose que la distance entre deux quelconques des A_{i} est un entier. Montrer que I est fini.