Exercices de khôlle pour la MPSI

Neuvième semaine

David A. Madore

                           david.madore@clipper.ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

(Statistiques jusqu’à présent : Moyenne des notes : 14.53 ± 0.42. Écart type : 2.93. Meilleure note : 20. Plus mauvaise note : 09.)

Exercice important. Montrer que l’application

φ:ℝ → ℝ
x ↦ e^{− \frac{1}{x^{2}}} si x > 0
x ↦ 0 si x ≤ 0

est de classe C^{∞}. Donner un exemple d’application C^{∞} à support compact (i.e. nulle en dehors d’un intervalle borné).

Contre-exemple fondamental. Soit f: ℝ → ℝ définie par

f(x) = x^{2} cos \frac{1}{x} si x ≠ 0

f(0) = 0

Montrer que f est dérivable sur ℝ, mais qu’elle n’est pas de classe C^{1}.

Exercice facile. Trouver la limite en 0 de :

\frac{\sqrt{1 + sin x} − 1}{ln(1 + x)}

Exercice faisable. Soit f: ℝ_{+} → ℝ uniformément continue. Montrer qu’il existe α, β > 0 tels que |f(x)| ≤ αx + β pour tout x ∈ ℝ_{+}.

Fonctions réglées. Soit I un segment de ℝ (i.e. un intervalle fermé borné). On dit que f: I → ℝ est \underline{réglée} ssi pour tout ε > 0 il existe θ: I → ℝ en escalier telle que |f(x)−θ(x)| ≤ ε pour tout x ∈ I (f est dite “uniformément approchée par les fonctions en escalier”).

1) Montrer que toute fonction continue est réglée (c’est du cours).

2) Montrer que toute fonction croissante est réglée.

3) Montrer que f est réglée ssi elle admet en tout point une limite à droite et une limite à gauche.

4) Montrer que si f est réglée alors il existe une suite (u_{n}) telle que si f n’est pas continue en x alors x = u_{n} pour un certain n (on dit que l’ensemble des points de discontinuité de f est dénombrable ; en particulier, f ne peut pas être discontinue en tout point).

Contre-exemple important. Montrer que la propriété des valeurs intermédiaires n’est pas suffisante pour qu’une fonction soit continue (comme on l’a cru avant Darboux).

Polynômes de Hermite. Montrer que la fonction f: x ↦ e^{−x^{2}} est de classe C^{∞} sur ℝ, et que sa dérivée n-ième s’écrit f^{(n)} = H_{n} f où H_{n} est un polynôme dont on précisera le degré et le coefficient dominant. (Ces polynômes se nomment polynômes de Hermite, en l’honneur du mathématicien français Charles Hermite (1822-1901)).

Exercice piège. Calculer la dérivée de la fonction

x ↦ ln cos (π + \frac{x^{2} − 1}{x^{2} + 1})

(Bon, d’accord, c’est un peu gros, mais enfin, il faut tout de même rester réveillé...)