Exercices de khôlle pour la MPSI

Huitième semaine

David A. Madore

                           david.madore@clipper.ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

Exercice pas trop difficile. Soit f une application linéaire d’un espace vectoriel E dans lui-même telle que f(x) soit toujours colinéaire à x (i.e. f(x) = λx pour tout x, avec λ dépendant a priori de x) ; montrer que f est une homothétie (i.e. f(x) = λx pour tout x, avec λ ne dépendant pas de x).

Contre-exemple archi-rabaché. Trouver, pour tout N, un exemple de N sous-espaces vectoriels E_{i} d’un même espace vectoriel, tels que deux quelconques des E_{i} soient en somme directe, mais pas tous les E_{i}.

Contre-exemple idiot. Donner un exemple d’une application linéaire injective mais non bijective d’un espace vectoriel dans lui-même.

Exercice sur les projecteurs. Soit E un espace vectoriel, P l’ensemble de ses projecteurs. Montrer que la relation ≤ sur P définie par

p ≤ q ⟺ (pq = p ∧ qp = p)

est une relation d’ordre et la caractériser en termes d’images et de noyaux.

Exercice important (et facile). Soit E un espace vectoriel, E = E_{1} ⊕E_{2}. Soit A un sous-espace vectoriel de E. Montrer que A ⊇ (A ∩ E_{1}) ⊕ (A ∩ E_{2}), mais qu’on n’a pas nécessairement égalité.

Exercice pitoyable. Résoudre le système

\{ \begin{matrix}x + y & = 0 \\ y + z & = 0 \\ z + t & = 0 \\ t + x & = 0 \end{matrix}

Exercice pas si facile. Soient u, v deux applications linéaires d’un espace vectoriel E dans luimême. On suppose que id +uv est bijective. Montrer que id +vu est bijective.

Questions multiples. L’image/l’image réciproque d’une famille libre/d’une famille génératrice/ d’une base par une application linéaire quelconque/injective/surjective/bijective est elle une famille libre/une famille génératrice/une base ?