Exercices de khôlle pour la MPSI

Septième semaine

David A. Madore

                           david.madore@clipper.ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

Exercice difficile. Soit G un groupe fini et φ: G → G un morphisme involutif (i.e. tel que φ ∘ φ = id_{G}) sans point fixe non trivial (i.e. tel que φ(x) = x implique x = 1). Montrer que G est abélien.

Indication : On pourra montrer que tout élément de G s’écrit tφ(t^{−1}) pour un certain t ∈ G, puis que φ(x) = x^{−1} pour tout x.

Exercice plutôt facile. Montrer que \frac{ln 3}{ln 2} ∉ ℚ. Montrer que la famille

ln 2, ln 3, ln 5, ln 7, ...

est libre sur ℚ (i.e. est libre dans le ℚ-espace vectoriel ℝ ; si on ne sait pas ce que “libre” signifie pour une famille infinie, on pourra montrer que toute sous-famille finie est libre).

Exercice classique. Montrer qu’un groupe n’est jamais la réunion de deux sous-groupes propres. En déduire que si un anneau vérifie xy = ±yx pour tous x, y (le choix du signe dépendant de x et de y) alors il est commutatif.

Autre exercice classique. On dit qu’un anneau commutatif A est \underline{intègre} ssi pour tous x, y ∈ A, xy = 0 implique x = 0 ou y = 0. Montrer qu’un anneau intègre fini est un corps.

Exercice trivial (en principe). Soit G un groupe, et x ∈ G. Montrer qu’il existe un unique morphisme φ: ℤ → G tel que φ(1) = x.

Un résultat horriblement important. Montrer que tous les sous-groupes de ℤ sont de la forme mℤ pour un certain naturel m.

Exercice très classique. Soit A un anneau dans lequel tout x vérifie x^{2} = x. Montrer que A est commutatif.

Remarque : Un tel anneau s’appelle un anneau de Boole.

Exercice très difficile. Si A est un anneau, x ∈ A, on dit qu’un y ∈ A est un \underline{inverse à droite} de x ssi xy = 1. Montrer que si x admet au moins deux inverses à droite, il en admet une infinité.

Exercice complètement stupide. On munit ℝ^{3} de la loi de composition suivante :

(x, y, z) ⋆ (x′, y′, z′) = (x + x′, y + y′, z + z′ + xy′)

Montrer que cela définit une structure de groupe.

Exercice atrocement classique. Soit E un espace vectoriel sur un corps K infini. Montrer que la réunion d’une famille finie de sous-espaces vectoriels propres de E ne peut pas être E.

Exercice facile. Considérons le ℝ-espace vectoriel des applications ℝ → ℝ : montrer que la famille

(t ↦ e^{λt})_{λ∈ℝ}

y est libre (si on ne sait pas ce que “libre” signifie pour une famille infinie, on pourra montrer que toute sous-famille finie est libre).

Exercice totalement stupide (mais alors, vraiment). Déterminer tous les ℝ-sous-espaces vectoriels de ℝ.