Exercices de khôlle pour la MPSI

Sixième semaine

David A. Madore

                           david.madore@clipper.ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

Exemples intéressants. Donner un exemple de fonction réelle continue en un seul point. Donner un exemple de fonction réelle continue sur les irrationnels et discontinue sur les rationnels.

Remarque : Il n’existe pas de fonction réelle continue sur les rationnels et discontinue sur les irrationnels.

Limite simple versus limite uniforme. Soit (f_{n}) une suite de fonctions réelles continues. On suppose que pour tout x ∈ ℝ, f_{n}(x) → f(x), soit

∀x ∈ ℝ ∀ε > 0 ∃n_{0} ∈ ℕ ∀n ≥ n_{0} |f_{n}(x) − f(x)| ≤ ε

Montrer que ceci n’implique pas que f est continue. Montrer en revanche que si on remplace la condition ci-dessus par

∀ε > 0 ∃n_{0} ∈ ℕ ∀n ≥ n_{0} ∀x ∈ ℝ |f_{n}(x) − f(x)| ≤ ε

(on dit que f_{n} → f uniformément par rapport à x) alors f est continue.

Continuité uniforme. Soit I un intervalle de ℝ. On dit qu’une fonction f: I → ℝ est \underline{uniformément continue} ssi pour tout ε > 0 il existe η > 0 tel que pour tous x, y ∈ I, |x − y| ≤ η implique |f(x) − f(y)| ≤ ε. Montrer qu’une fonction uniformément continue est continue, qu’une fonction lipschitzienne est uniformément continue, mais que les implications réciproques sont fausses en général. Montrer que si l’intervalle I est ouvert borné, et f uniformément continue sur I, alors elle se prolonge par continuité aux bornes de I.

Le trio classique. Soit f: ℝ → ℝ. Montrer que deux parmi les trois assertions suivantes impliquent la troisième :

(i) f est continue. (ii) f est strictement monotone. (iii) f est bijective sur un intervalle (i.e. injective d’image un intervalle).

Exercice très difficile. Trouver une fonction f: ℝ → ℝ continue telle que :

(i) f(x) est rationnel pour tout rationnel x non nul. (ii) f(x) est irrationnel pour tout irrationnel x. (iii) f(0) est irrationnel.

Critère de Cauchy sur les fonctions. Soit f: A → ℝ, et a ∈ Ā. On dit que f est \underline{de Cauchy} en a ssi elle vérifie :

∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ A ∩ [x − η; x + η] ∀y ∈ A ∩ [x − η; x + η] |f(x) − f(y)| ≤ ε

Montrer que dans ces conditions, f admet une limite en a.

Introduction aux séries entières et aux développements limités. Soit (a_{n}) une suite bornée de nombres réels. Montrer que pour tout |x| < 1, la série

f(x) := ∑_{n=0}^{+∞} a_{n}x^{n}

est convergente. Montrer que pour tout N, on a

f(x) = ∑_{n=0}^{N} a_{n}x^{n} + O_{0}(x^{N+1})

(c’est-à-dire f(x) − ∑_{n=0}^{N} a_{n}x^{n} = O_{0}(x^{N+1})). Exercice très facile. Comparer les fonctions

t^{α} , e^{(ln t)^{α}}

pour α ∈ ℝ_{+}^{∗} au voisinage de +∞.