Exercices de khôlle pour la MPSI David A. Madore

                           david.madore@clipper.ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

Exercice amusant. On appelle \underline{ouvert} une partie A ⊆ ℝ telle que pour tout x ∈ A il existe ε > 0 tel que ]x − ε; x + ε[⊆ A. Exemple : les intervalles ouverts sont ouverts. On joue maintenant au jeu suivant : deux joueurs, I et II s’affrontent ; chacun, tour à tour, choisit un ouvert A ⊆ ℝ non vide, inclus dans celui que vient de jouer le précédent. Ainsi : I choisit A_{0} ⊆ ℝ ouvert non vide, II choisit B_{0} ⊆ A_{0} ouvert non vide, I choisit A_{1} ⊆ B_{0} ouvert non vide, et ainsi de suite. Après un nombre infini de coups, on regarde ⋂_{n∈ℕ} A_{n} = ⋂_{n∈ℕ} B_{n} : s’il est vide, I a gagné, sinon, c’est II. Montrer que II possède une stratégie gagnante, c’est-à-dire un moyen de choisir ses coups en fonction des précédents pour gagner avec certitude. Plus dur : montrer que si l’on joue dans ℚ (la définition d’un ouvert étant la même, mutatis mutandis), alors c’est I qui possède une stratégie gagnante.

Exercice cantorien. Montrer qu’il n’existe pas de suite prenant toutes les valeurs réelles. Plus dur (pour des élèves n’ayant pas vu la notion d’ensemble dénombrable) : montrer qu’il en existe une prenant toutes les valeurs rationnelles.

Exercice difficile. Soit (u_{n}) une suite définie par u_{0} ∈ ℝ et u_{n+1} = f(u_{n}) pour tout n, où f: ℝ → ℝ est continue. On suppose que (u_{n}) n’admet qu’une seule valeur d’adhérence λ (i.e. si une suite extraite de (u_{n}) converge, alors elle converge vers λ, et il y en a une qui converge vers λ). Montrer que u_{n} → λ.

Exercice assez facile. Soient (u_{n}), (v_{n}) deux suites réelles de limite +∞, telles que u_{n} = o(v_{n}). Montrer qu’il existe une suite (w_{n}) de limite +∞ telle que u_{n} = o(w_{n}) et w_{n} = o(v_{n}).

Exercice bizarre. Donner un exemple de suites u_{n}, v_{n} telles que l’on ait u_{n} = O(v_{n}), mais ni u_{n} = o(v_{n}) ni v_{n} = O(u_{n}).

Exercice curieux. Soit (u_{n}) une suite réelle. On définit (v_{n}) par v_{n} = u_{n+1} − u_{n} et (w_{n}) par w_{n} = v_{n+1} − v_{n}. On suppose que (u_{n}) est bornée et (w_{n}) convergente. Montrer que v_{n} → 0.

Théorème abélien de Césaro. Soit u_{n} une suite convergeant vers un réel ℓ. On pose v_{n} = \frac{u_{0}+...+u_{n−1}}{n}. Montrer que v_{n} → ℓ. Beaucoup plus difficile, la réciproque suivante (théorème taubérien de Hardy-Littlewood) : on ne suppose plus u_{n} → ℓ, mais cette fois v_{n} → ℓ. On suppose de plus u_{n+1} − u_{n} = O(\frac{1}{n}). Montrer que u_{n} → ℓ.

Remarque : Un théorème “abélien” est un théorème permettant de déduire du comportement asymptotique d’un objet des informations sur le comportement d’une moyenne (ici, la moyenne arithmétique). Leurs réciproques s’appellent théorèmes “taubériens”, et pour pouvoir les appliquer, il faut disposer d’une condition, dite condition taubérienne, de régularité (ici, u_{n+1} − u_{n} = O(\frac{1}{n})).

Exercice de manipulation. Soit (u_{n}) une suite réelle. Montrer l’équivalence entre

(i) Il existe une suite extraite de (u_{n}) convergeant vers λ. (ii) Pour tout ε > 0 et tout n_{0} naturel il existe n ≥ n_{0} tel que |u_{n} − λ| < ε.

(On dit dans ces conditions que λ est une valeur d’adhérence de (u_{n}).) Montrer que cela n’implique pas la convergence de (u_{n}) vers λ.

Théorème de Cauchy. On dit qu’une suite rélle est \underline{de Cauchy} ssi elle vérifie l’assertion suivante : (*) Pour tout ε > 0 il existe n_{0} naturel tel que si p, q ≥ n_{0} alors |u_{p} − u_{q}| < ε.

Montrer qu’une suite convergente est de Cauchy. Réciproquement, supposons (u_{n}) de Cauchy ;

(i) Montrer qu’elle est bornée.

(ii) Soit λ une valeur d’adhérence de (u_{n}) (i.e. la limite d’une suite extraite de (u_{n})) : montrer que u_{n} → λ. Application : soit (u_{n}) une suite telle que u_{n+1} −u_{n} = O(\frac{1}{n^{2}} ). Montrer qu’elle est convergente.

Une démonstration de Bolzano-Weierstraß. Soit (u_{n}) une suite réelle. Montrer qu’il existe une suite extraite de (u_{n}) qui est monotone. En déduire une démonstration du théorème de Bolzano-Weiestraß.

Exercice curieux. Soient (u_{n}), (v_{n}) deux suites réelles non bornées. Montrer que pour tout A > 0 on peut trouver p, q tels que |u_{p} −u_{q}| > A et |v_{p} −v_{q}| > A. Montrer que ce n’est pas vrai en général pour trois suites (ou plus).

Exercice facile (“la compacité du cercle”). Soit (u_{n}) une suite réelle quelconque. Montrer qu’il existe ψ: ℕ → ℕ une extraction de suite (i.e. une injection croissante) telle que (cos u_{ψ(n)}) et (sin u_{ψ(n)}) soient toutes deux convergentes.