Exercices de khôlle pour la MPSI David A. Madore

                           david.madore@clipper.ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

Exercice classiquissime. On considère les parties G de ℝ qui vérifient l’assetion suivante : (*) 0 ∈ G et si x, y ∈ G alors x − y ∈ G.

(Ces parties s’appellent les sous-groupes de G.) Montrer que soit G est dense dans ℝ soit il existe α tel que G = {kα: k ∈ ℤ}.

Exercice assez facile. (“La récurrence sur les réels”, en fait, la connexité de ℝ.) On considère une partie A de ℝ vérifiant les propriétés suivantes :

(i) A ≠ ∅. (ii) Si x ∈ A alors il existe ε > 0 tel que ]x − ε; x + ε[⊆ A. (iii) Si x ∈ ℝ est tel que pour tout ε > 0 on ait ]x − ε; x + ε[∩A ≠ ∅, alors x ∈ A.

Montrer qu’alors A = ℝ.

Exercice classique astucieux. Soit θ un nombre réel. Montrer qu’il existe une infinité de rationnels p/q (p ∈ ℤ, q ∈ ℕ^{∗}) tels que

∥θ − \frac{p}{q}| < \frac{1}{q^{2}}

On pourra pour cela considérer les parties fractionnaires de 0, θ, …, Qθ, et la partition [0; \frac{1}{Q}[∪ …∪ [\frac{Q−1}{Q}; 1[ de [0; 1[.

Exercice facile. Montrer que \frac{ln 3}{ln 2} est irrationnel.

Exercice concernant l’inégalité triangulaire, mais dans le plan plutôt que dans sur les réels. Soient (F_{i})_{1≤i≤n} et (P_{i})_{1≤i≤n} 2n points du plan, tels que trois quelconque d’entre eux ne soient jamais alignés. Montrer qu’il existe une bijection σ de {1, …, n} telle que pour i, j distincts, les segments [F_{i}; P_{σ(i)}] et [F_{j}; P_{σ(j)}] soient disjoints.

Indication : Montrer que si A, B, C, D est un quadrilatère convexe, alors AB+CD ≤ AC + BD.

Exercice facile. Soit (u_{n}) une suite réelle, et soit φ: ℕ → ℕ une bijection. Montrer que la suite (u_{φ(n)}) admet une limite ssi la suite (u_{n}) en admet une et que, le cas échéant, ces limites sont égales.

Exercice très (très) difficile. Considérons pour un ensemble totalement ordonné S les propriétés suivantes :

(i) S est \underline{sans extrémités} : pour tout a ∈ S, il existe b, c ∈ S tels que b < a < c. (ii) S est \underline{dense (dans lui-même)} : pour tous a < b ∈ S il existe c ∈ S tel que a < c < b. (iii) S est \underline{séparable} : il existe une suite (u_{n}) à valeurs dans S telle que pour tous a < b ∈ S on

ait a ≤ u_{n} ≤ b pour un certain n. (iv) S est \underline{complet} : toute partie non vide et minorée de S admet une borne supérieure et une borne

inférieure.

Montrer que ℝ vérifie ces propriétés. Réciproquement, montrer que si S vérifie ces propriétés, il existe φ: S → ℝ bijective et croissante.

Indication : (pour la seconde question) Commencer par construire une bijection croissante entre l’ensemble des u_{n} et ℚ, puis la prolonger en une bijection entre S et ℝ.

Remarque culturelle : On peut se demander ce qu’il advient si l’on remplace la propriété (iii) par la propriété suivante, plus faible, aussi vérifiée par ℝ : (iii’) S vérifie la \underline{propriété de la chaîne dénombrable} : si (A_{i})_{i∈I} est une famille d’intervalles de S non vides et deux-à-deux disjoints alors il existe une surjection ℕ → I (i.e. I est au plus dénombrable). Les conditions (i), (ii), (iii’) et (iv) permettent-elles de conclure que S est en bijection croissante avec ℝ ? Ce problème, nommé problème de Souslin, est longtemps resté sans réponse. On sait maintenant qu’il est indécidable.

Exercice culturel. On appelle \underline{coupure} un couple (P, Q) de parties de ℚ vérifiant les propriétés suivantes :

(i) P ∪ Q = ℚ. (ii) P ≠ ∅ et Q ≠ ∅. (iii) Si x ∈ P et y ∈ Q alors x < y. (iv) Si x ∈ P et t < x alors t ∈ P.

(v) Q n’a pas de plus petit élément. On ordonne l’ensemble D des coupures par (P, Q) ≤ (P′, Q′) ssi P ⊇ P′. Montrer qu’il existe

une bijection croissante D → ℝ.

Remarque culturelle : C’est là un des moyens de définir les nombres réels.

Exercice facile. Soit (u_{n}) une suite prenant toutes les valeurs rationnelles. Montrer que (u_{n}) n’admet pas de limite.

Exercice facile. Montrer que l’ensemble des réels de la forme \frac{p}{2^{s}} est dense dans ℝ.

Exercice facile. Soit (u_{n}) une suite telle que u_{2n} → λ et u_{2n+1} → λ′. Montrer que si λ = λ′ alors u_{n} → λ et que si λ ≠ λ′ alors (u_{n}) n’est pas convergente.

Exercice moyen. Pour tout réel x, notons ⌊x⌋ sa partie entière et ♭x := x − ⌊x⌋ sa partie fractionnaire. Montrer que la suite (♭\sqrt{n}) n’admet pas de limite.