Exercices de khôlle pour la MPSI

Trentième (et dernière) semaine

David A. Madore

                               david.madore@ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

Révisions générales

(Jusqu’à présent : Moyenne des notes : 14.64 ± 0.22. Écart type : 2.77.)

Remarque : Tous les exercices suivants sont tirés du volume 104 de la Revue de Mathématiques Spéciales. Ils ont été posés aux concours communs polytechniques, aux TPE, à l’INT ou à l’IIE.

365. Soit G un ensemble muni d’une loi associative possédant un élément neutre à droite et pour laquelle tout élément a un symétrique à droite. Montrer que tout symétrique à droite est également symétrique à gauche, puis que G est un groupe.

367. Existe-t-il une matrice carrée complexe d’ordre 3 dont le carré est

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

371. Un élément d’un sous-groupe fini de GL_{n}(ℂ) est-il diagonalisable ?

377. E est un espace vectoriel réel euclidien. Soit f dans L(E) tel que (f(x) | x) = 0 pour tout x de E. Montrer que pour tous x, y on a (f(x) | y) + (f(y) | x) = 0 ; montrer que ker f = (im f)^{⊥}.

378. Soit f une application continue de ℝ^{2} dans ℝ. Montrer que l’on peut trouver deux points symétriques par rapport à 0 et distincts ayant même image par f. Montrer le même résultat pour deux points distincts A et B tels que l’on passe de l’un à l’autre par rotation de \frac{π}{2} autour de 0.

380. Quelles sont les fonctions continues de ℝ dans ℝ^{+} vérifiant pour tous x, y :

f (\frac{x + y}{2} ) = \sqrt{f(x) f(y)}

390. On pose J_{n} = ∫_{−π}^{+π} \frac{e^{inϑ}}{5+4 cos ϑ} dϑ.

a) Montrer que J_{n} est réel.

b) Établir une relation de récurrence entre J_{n}, J_{n−1}, J_{n−2}.

c) Calculer J_{0}. En déduire J_{1}.

d) Calculer J_{n}.

398. Montrer l’existence d’une fonction f de classe C^{∞} définie sur un intervalle entourant 0 par la relation

{y = f(x); f(0) = 1; ye^{x} − xe^{y} = 1}

Développer f à l’ordre 3 en 0.

415. Soient a, b des entiers > 0. Soit p un nombre premier tel que (a + b) ∧ (ab) = p^{2} (où ∧ désigne le pgcd) ; que dire de a ∧ b ? Quels sont les (a, b) tels que (a + b) ∧ (ab) = 49 et a ∨ b = 231 ?

424. Nature de la série Σ sin[(2 + \sqrt{3})^{n}π].