Exercices de khôlle pour la MPSI

Vingt-sixième semaine

David A. Madore

                               david.madore@ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

(Jusqu’à présent : Moyenne des notes : 14.67 ± 0.21. Écart type : 2.58.)

Une baignoire qui se vide. Résoudre l’équation différentielle y′ = −\sqrt{y}. Faire un commentaire quant à l’application du thórème de Cauchy-Lipschitz.

Théorème faible de minoration a priori. Soit y′ = f(x, y) une équation différentielle du premier ordre (avec f de classe C^{1} par exemple). On suppose que h est une solution de cette équation, définie sur un intervalle ouvert I =]a; b[. On suppose de plus que h reste bornée au voisinage de b ; montrer alors que h se prolonge en une solution de l’équation définie sur ]a; b + ε[ pour un certain ε > 0.

Théorème de projection sur les convexes. Soit C un ensemble fermé convexe d’un espace euclidien E, et soit x un point de E. Montrer que l’inf des ∥x − c∥ pour c ∈ C est atteint en exactement un point : on note p(x) ce point. Montrer que si c ∈ C, le produit scalaire ( p(x) − x | p(x) − c) est négatif et donner une interprétation géométrique de cette inégalité. Montrer que l’application p: x ↦ p(x) est continue (et, plus précisément, 1-lipschitzienne).

Source : Concours d’entrée des Écoles Normales Supérieures, session 1996, épreuve commune Lyon-Cachan.

Classiques. Montrer que l’enveloppe convexe d’un ouvert (dans un espace vectoriel normé de dimension finie) est un ouvert. Ce résultat est-il vrai pour les fermés ? On rappelle que l’intérieur d’une partie est le plus grand ouvert qu’elle contient (soit l’ensemble des points dont elle est un voisinage) : montrer que l’intérieur d’un convexe est un convexe. On rappelle que l’adhérence d’une partie est le plus petit fermé qui la contient (soit l’ensemble des points qui lui sont adhérents) : montrer que l’adhérence d’un convexe est un convexe.

Théorème de Carathéodory. Soit E un espace affine (ou vectoriel) de dimension n, et x_{0}, …, x_{m} des points de E, avec m > n. Soit x un point de l’enveloppe convexe de ces m + 1 points. Montrer que x est dans l’enveloppe convexe de n + 1 parmi les m + 1 points. (On pourra raisonner par récurrence sur m et commencer par établir qu’il existe λ_{1}, …, λ_{m} non tous nuls tels que ∑_{i} λ_{i} = 0 et ∑_{i} λ_{i}x_{i} = 0.)

La première question de mon exercice d’Analyse à l’ENS Ulm. Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie. On suppose donnée une base (e_{i})_{i=1}^{n} telle que

∥∑_{i=1}^{n} λ_{i}e_{i}∥ = ∥∑_{i=1}^{n} |λ_{i}|e_{i}∥

pour tous réels (λ_{i})_{i=1}^{n}. Montrer que si on a 0 ≤ α_{i} ≤ β_{i} pour i = 1, …, n alors

∥∑_{i=1}^{n} α_{i}e_{i}∥ ≤ ∥∑_{i=1}^{n} β_{i}e_{i}∥

Archi-ultra-classiquissime. Soit P un polynôme complexe. Montrer que les racines de P′ sont dans l’enveloppe convexe des racines de P. (Indication : Penser à la dérivée logarithmique et rendre le dénominateur réel.)