Exercices de khôlle pour la MPSI

Vingt-et-unième semaine

David A. Madore

                               david.madore@ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

Un classique qui aurait dû venir plus tôt. Montrer que tout groupe fini est (isomorphe à) un sous-groupe d’un groupe symétrique.

Un autre classique. Montrer que 𝔖_{n} est (isomorphe à) un sous-groupe de 𝔖_{n+1}, et aussi de 𝔄_{n+2} (𝔖_{n} est le groupe symétrique sur n éléments, et 𝔄_{n} est le groupe alterné, i.e. le groupe des permutations symétriques, sur n éléments).

Ultra-classique (ça devient lassant). Soient α_{0}, …, α_{n} des nombres complexes. Calculer

| \begin{matrix}1 & 1 & ⋯ & 1 \\ α_{0} & α_{1} & ⋯ & α_{n} \\ α_{0}^{2} & α_{1}^{2} & ⋯ & α_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ α_{0}^{n} & α_{1}^{n} & ⋯ & α_{n}^{n} \end{matrix} |

(déterminant dit “de Vandermonde”).

Archi-classique (hélas). Soient a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{n} des complexes tels que pour tous i, j on ait a_{i} + b_{j} ≠ 0. Calculer le déterminant

| \begin{matrix}\frac{1}{a_{1}+b_{1}} & \frac{1}{a_{1}+b_{2}} & ⋯ & \frac{1}{a_{1}+b_{n}} \\ \frac{1}{a_{2}+b_{1}} & \frac{1}{a_{2}+b_{2}} & ⋯ & \frac{1}{a_{2}+b_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{1}{a_{n}+b_{1}} & \frac{1}{a_{n}+b_{2}} & ⋯ & \frac{1}{a_{n}+b_{n}} \end{matrix} |

(déterminant dit “de Cauchy”). [Indication : Supposer les a_{i} deux à deux distincts. Décomposer la fonction rationnelle

\frac{(b_{1} − X) ⋯ (b_{n−1} − X)}{(X + a_{1}) ⋯ (X + a_{n})}

en éléments simples, et utiliser cette décomposition pour simplifier la dernière ligne par une combinaison linéaire idoine des précédentes.]

Hyper-classique (eh oui !). Soient a_{1}, …, a_{n} des nombres complexes. Calculer le déterminant

| \begin{matrix}a_{1} & a_{2} & ⋯ & a_{n} \\ a_{n} & a_{1} & ⋯ & a_{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{2} & a_{3} & ⋯ & a_{1} \end{matrix} |

(déterminant dit “circulant”). [Indication : Introduire la matrice Ω = (ω^{(i−1)(j−1)})_{i,j} où ω est une racine primitive n-ième de l’unité, et calculer det(AΩ) en fonction de det(Ω).]

Pas très classique. Soient a, b, x_{1}, …, x_{n} des complexes. Calculer le déterminant

| \begin{matrix}x_{1} & a & ⋯ & a \\ b & x_{2} & ⋯ & a \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ b & b & ⋯ & x_{n} \end{matrix} |

[Indication : Ajouter x a tous les termes, et montrer que le déterminant ainsi obtenu est une fonction linéaire de x.]

Plus facile. Soit a un nombre complexe. Calculer le déterminant n × n donné par

| \begin{matrix}a & 1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 1 & a & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 1 & a & 1 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & a \end{matrix} |

Très zouli. Soient A et B deux matrices réelles. On suppose que A et B sont semblables dans 𝕄_{n}(ℂ) (c’est-à-dire qu’il existe M ∈ 𝕄_{n}(ℂ) inversible telle que B = MAM^{−1}). Montrer qu’elles sont semblables dans 𝕄_{n}(ℝ).