Exercices de khôlle pour la MPSI

Vingtième semaine

David A. Madore

                               david.madore@ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

(Jusqu’à présent : Moyenne des notes : 14.69 ± 0.25. Écart type : 2.65.

Un classique de l’Agrégation (je dis ça pour frimer). Soit u une fonction de classe C^{2} sur un intervalle fermé borné [a; b] ⊆ ℝ (avec a < b). On suppose que u est nulle en a et b et strictement positive sur ]a; b[. Montrer que

∫_{a}^{b} |\frac{u′′(t)}{u(t)}| dt ≥ \frac{4}{b − a}

[Indication : Notant ∥u∥ la borne supérieure de u sur [a; b], et c un point où cette borne est atteinte, montrer que \frac{1}{∥u∥} ∫_{a}^{b} |u′′(t)| dt ≥ \frac{1}{∥u∥}(sup_{t∈[a;c]} u′(t) − inf_{t∈[c;b]} u′(t)).]

La fonction Gamma. On définit la fonction Γ par :

Γ(z) = ∫_{0}^{+∞} e^{−t} t^{z−1} dt

Montrer que Γ est définie et continue sur ℝ_{+}^{∗}. Montrer que Γ(z + 1) = zΓ(z) pour tout z. Montrer que Γ(n + 1) = n! pour tout n ∈ ℕ. Plus dur : montrer que Γ est dérivable. Très dur : on appelle γ la limite de la suite

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} − ln n

Montrer que γ existe et que la dérivée de Γ en 1 est −γ.

Un contre-exemple important. Montrer qu’on peut avoir f_{n} → f (avec f_{n}, f des fonctions continues, et, pourquoi pas, positives) uniformément sur ℝ sans pour autant que ∫_{−∞}^{+∞} f_{n} → ∫_{−∞}^{+∞} f.

Autre contre-exemple important. Montrer que ∫_{−∞}^{+∞} \frac{sin t}{t} dt n’est pas convergente [au sens donné à ce terme par le programme 1996–1997 des Classes Préparatoires — voir note], mais que pourtant ∫_{−A}^{B} \frac{sin t}{t} dt admet une limite lorsque A → +∞ et B → +∞. [On dit que l’intégrale est “semi-convergente”.]

Remarque importante : Le programme des Classes Préparatoires a apparemment changé cette année de définition des fonctions intégrables (probablement pour se conformer aux définitions en vigueur dans la théorie de Lebesgue) ; jusqu’à cette année, des fonctions comme \frac{sin t}{t} étaient considérées comme intégrables. Des confusions sont à prévoir.

Troisième contre-exemple important. Montrer qu’il existe des fonctions (continues) positives f telles que ∫_{0}^{+∞} f(t) dt converge, et que pourtant f(t) ne tende pas vers 0 en +∞.

Amusant (?). Si 0 < x < 1, on pose F (x) = ∫_{x}^{x^{2}} \frac{dt}{ln t}. Déterminer lim_{x→1} F (x). [Indication : Si x^{2} ≤ t ≤ x alors \frac{x^{2}}{t ln t} ≤ \frac{1}{ln t} ≤ \frac{x}{t ln t}.] En déduire la valeur de

I = ∫_{0}^{1} \frac{t − 1}{ln t} dt

[Indication : Dériver F.]