Exercices de khôlle pour la MPSI

Dix-neuvième semaine

David A. Madore

                               david.madore@ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

(Jusqu’à présent : Moyenne des notes : 14.62 ± 0.26. Écart type : 2.67.

Exercice sans grand rapport avec le chapitre. Soit M une matrice rélle inversible. Montrer qu’il existe un polynôme P ∈ ℝ[X] tel que M^{−1} = P (M). [Indication : On pourra montrer tout d’abord qu’il existe un polynôme Q non nul tel que Q(M) = 0.]

Exercice inqualifié. Soit M une matrice réelle n × n. On suppose qu’il existe 0 ≤ i_{0} < i_{1} < ⋯ < i_{r} = n tels que, si on appelle A_{kl} la matrice obtenue en ne gardant que les lignes i_{k−1} + 1 à i_{k} et le colonnes i_{l−1} + 1 à i_{l} de M, alors elles vérifient :

(i) A_{kl} est nulle si k > l. (ii) A_{kk} est inversible pour tout k

(Autrement dit, M est diagonale par blocs à blocs diagonaux inversibles.) Montrer qu’alors M est inversible.

Exercice très ludique. On considère n inconnues t_{1}, …, t_{n}, et r un naturel entre 0 et n. On demande de résoudre le système constitué des équations

t_{i_{1}} + ⋯ + t_{i_{r}} = 0

pour tous i_{1}, …, i_{r} ∈ {1, …, n} deux à deux distincts. (Autrement dit, une somme de r quelconques parmi les n inconnues est nulle.) [Indication : Éliminer rapidement les cas r = 0 et r = n, puis se concentrer sur le cas r = n − 1 avant de résoudre le problème général.]

Exercice vandermondesque. On considère α_{0}, …, α_{n} des réels deux à deux distincts. Montrer par la méthode du pivot de Gauss que le système

{ t_{0} + t_{1} + ⋯ + t_{n} = 0 ; α_{0}t_{0} + α_{1}t_{1} + ⋯ + α_{n}t_{n} = 0 ; ⋮ ; α_{0}^{n}t_{0} + α_{1}^{n}t_{1} + ⋯ + α_{n}^{n}t_{n} = 0

est de Cramér.

Exercice trop facile. Soit A un nombre réel. Résoudre le système

{ t_{0} = 1 ; t_{0} + t_{1} = A ; t_{0} + 2t_{1} + t_{2} = A^{2} ; ⋮ ; t_{0} + nt_{1} + C_{n}^{2}t_{2} + ⋯ + t_{n} = A^{n}

Exercice (un peu) trop facile. Résoudre le système

∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j} = 0

pour a_{ij} = i + j, puis pour a_{ij} = ij, puis pour a_{ij} = i^{j}.

Le pivot de Jordan. On rappelle qu’une transvection est une matrice ayant une diagonale de 1 et un seul coefficient non nul en dehors de la diagonale. Montrer que toute matrice inversible peut s’écrire comme T_{1} ⋯ T_{n}D où T_{i} sont des transvections et D est une matrice diagonale dont tous les termes diagonaux sauf éventuellement le dernier sont égaux à 1.