Exercices de khôlle pour la MPSI

Seizième semaine

David A. Madore

                           david.madore@clipper.ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

(Jusqu’à présent : Moyenne des notes : 14.64 ± 0.29. Écart type : 2.78.

Sans commentaire. Soit M une matrice carrée n × n telle que M − I_{n} soit nilpotente (i.e. (M − I_{n})^{k} = 0 pour un certain k). Montrer que M est inversible.

Sans commentaire non plus. Soit M = (a_{ij}) une matrice réelle carrée n × n “à diagonale dominante”, c’est-à-dire telle que

∀i |a_{ii}| > ∑_{j≠i} |a_{ji}|

Montrer que M est inversible.

Exercice classique. On appelle \underline{idéal} (bilatère) de 𝕄_{n}(K) un sous espace vectoriel 𝔧 de 𝕄_{n}(K) tel que MA ∈ 𝔧 et AM ∈ 𝔧 dès que M ∈ 𝕄_{n}(K) et A ∈ 𝔧. Montrer que les seuls idéaux de 𝕄_{n}(K) sont {0} et 𝕄_{n}(K).

Exercice stupide. Une matrice M carrée est dite symétrique ssi ^{t}M = M, antisymétrique ssi ^{t}M = −M. Soit S l’ensemble des matrices symétriques et A des matrices antisymétriques (toutes de taille fixée n × n). Montrer que S ⊕ A = 𝕄_{n}(K), sous une petite hypothèse sur le corps K, que l’on précisera.

Exercice inqualifié. Une matrice (carrée) est dite magique ssi la somme de chaque colonne égale la somme de chaque ligne égale une constante. Calculer la dimension du sous-espace vectoriel M de 𝕄_{n}(K) formé des matrices magiques. Montrer que le produit de deux matrices magiques est magique. Montrer que, dès que n > 1, une matrice magique n’est jamais inversible.

Exercice d’introduction à la Réduction. Calculer la puissance n-ième de la matrice

( \begin{matrix}α & β \\ 0 & α \end{matrix} )

avec α ∈ ℂ^{∗} et β ∈ ℂ.

Astuce de taupin. Soit n un naturel. Calculer la puissance n-ième de la matrice

( \begin{matrix}C_{0}^{0} & C_{1}^{1} & ⋯ & C_{n−1}^{n−1} & C_{n}^{n} \\ 0 & C_{1}^{0} & ⋯ & C_{n−1}^{n−2} & C_{n}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & C_{n−1}^{0} & C_{n}^{1} \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & C_{n}^{0} \end{matrix} )