Exercices de khôlle pour la MPSI

Quinzième semaine

David A. Madore

                           david.madore@clipper.ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

(Jusqu’à présent : Moyenne des notes : 14.67 ± 0.30. Écart type : 2.72.

Représentations des groupes finis. Soit G un groupe fini. Une représentation (linéaire) de G est la donnée d’un ℂ-espace vectoriel V de dimension finie, et d’un morphisme ρ: G → GL(V) (où GL(V) est le groupe des automorphismes de V, c’est-à-dire des applications linéaires bijectives V → V). Si g ∈ G et x ∈ V, on note g · x = (ρ(g))(x). Si V est une telle représentation, une sous-représentation de V est un sous-espace vectoriel W de V stable par l’action de G (i.e. g · x ∈ W dès que g ∈ G et x ∈ W); une représentation V est dite irréductible ssi ses seules sous-représentations sont {0} et V. Montrer que toute toute sous-représentation W d’une représentation V admet un supplémentaire stable par G. [Indication : considérer un projecteur p quelconque d’image W, et le transformer, par un processus de moyennage, en un projecteur dont le noyau soit stable par G.] En déduire que toute représentation de G est somme directe de représentations irréductibles.

Un exercice classique. Montrer que deux sous-espaces vectoriels de même dimension d’un espace vectoriel de dimension finie ont un supplémentaire commun.

Un exercice trivial. Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K. On appelle dual de E l’espace E^{∗} = L(E, K), et bidual de E l’espace E^{∗∗} = (E^{∗})^{∗}. Montrer que l’application E → E^{∗∗}, x ↦ (φ ↦ φ(x)), définit un isomorphisme de E sur son bidual.

Inégalité trirangulaire (!). Soient f, g deux applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie. Montrer que

| rg f − rg g| ≤ rg(f + g) ≤ rg f + rg g

Centre de GL_{n}(ℝ). Le groupe GL_{n}(ℝ) est le groupe des applications linéaires bijectives ℝ^{n} → ℝ^{n}. Déterminer l’ensemble Z des f ∈ GL_{n}(ℝ) tels que fg = gf pour tout g ∈ GL_{n}(ℝ).

Suites exactes. Soient E_{0}, …, E_{n} des espaces vectoriels de dimensions finies d_{0}, …, d_{n}, et, pour tout i, f_{i}: E_{i} → E_{i+1} une application linéaire. On dit que

0 ⟶ E_{0} ⟶^{f_{0}} E_{1} ⟶^{f_{1}} ⋯ ⟶^{f_{n−1}} E_{n} ⟶ 0

est une suite exacte ssi f_{0} est injective, f_{n−1} surjective, et pour tout i, im f_{i} = ker f_{i+1}. Montrer que dans ces circonstances, ∑_{i=0}^{n}(−1)^{i}d_{i} = 0.

Introduction à la géométrie projective. Soit E un espace vectoriel non nul sur un corps K. On appelle espace projectif associé à E l’ensemble ℙ(E) des droites vectorielles de E (sous-espaces de dimension 1 de E). Ce sont les points de ℙ(E). Si E est de dimension finie d, on dit que la dimension de ℙ(E) est d − 1. Si F ⊆ E, on a évidemment ℙ(F) ⊆ ℙ(E), et on dit que ℙ(F) est un sous-espace projectif de ℙ(E). Un espace projectif de dimension 0 (resp. 1, resp. 2) s’appelle un point projectif (resp. une droite projective, resp. un plan projectif). Montrer que par deux points projectifs distincts passe une droite projective et une seule ; montrer que dans un plan projectif, deux droites projectives distinctent se coupent toujours en un point projectif unique.

Un exercice étrange (et dont la faisabilité n’est absolument pas garantie). Un espace vectoriel E est dit nœthérien (resp. artinien) ssi toute suite croissante (resp. décroissante) E_{0} ⊆ E_{1} ⊆ E_{2} ⊆ ⋯ (resp. E_{0} ⊇ E_{1} ⊇ ⋯) de sous-espaces vectoriels de E, est stationaire (i.e. constante à partir d’un certain rang). Montrer qu’un espace vectoriel est nœthérien (resp. artinien) ssi il est de dimension finie.