Exercices de khôlle pour la MPSI

Treizième semaine

David A. Madore

                           david.madore@clipper.ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

(Jusqu’à présent : Moyenne des notes : 14.66 ± 0.33. Écart type : 2.77.

Théorème de Fermat sur les polynômes. Montrer que si n ≥ 3, l’équation x^{n} + y^{n} = z^{n} n’a pas de solution dans ℂ[X] avec x, y, z tous non nuls.

Indication : Montrer qu’on peut supposer x, y, z sans facteurs communs. Dériver la relation et la multiplier par z. Conclure par une considération de degré.

Problème “de Waring facile”. Waring a conjecturé, et Hilbert a démontré, que pour tout naturel n il existe un naturel r(n) tel que tout naturel s’écrive comme somme de au plus r(n) puissances n-ièmes de naturels. Nous nous proposons de démontrer le résultat plus faible suivant : pour tout naturel n il existe un naturel r(n) tel que tout naturel s’écrive comme somme ou différence de au plus r(n) puissances n-ièmes de naturels. En fait, on va montrer un résultat un peu plus général.

(i) Si P ∈ ℤ[X] est un polynome à coefficients entiers, montrer que ΔP défini par ΔP (X) = P (X + 1) − P (X) est un polynôme à coefficients entiers, et que, si deg P > 0, alors deg ΔP = deg P − 1.

(ii) Montrer que pour tout polynôme P ∈ ℤ[X] prenant les valeurs 0 et 1 sur des naturels il existe un naturel r(P) tel que tout naturel s’écrive comme somme ou différence de au plus r(P) valeurs de P sur des naturels (i.e. pour tout a ∈ ℕ il existe a_{1}, …, a_{k} naturels avec k ≤ r(P), et ε_{1}, …, ε_{k} ∈ {−1, +1} tels que a = ε_{1}P (a_{1}) + ⋯ + ε_{k}P (a_{k})). (Indication : considérer Δ^{q−1}P où q = deg P.)

Polynômes cyclotomiques. On rappelle qu’on dit qu’un entier d divise un entier n (notation d|n) ss’il existe q ∈ ℤ tel que n = qd, et que deux entiers k et n sont premiers entre eux ssi les seuls entiers qui divisent k et n sont 1 et −1. On définit le n-ième polynôme cyclotomique comme Φ_{n}(X) = ∏_{k}(X − e^{2ikπ/n}), où k décrit l’ensemble des entiers entre 0 et n − 1 et premiers avec n. Montrer que

X^{n} − 1 = ∏_{d|n} Φ_{d}(X)

et en déduire par récurrence sur n que Φ_{n} est à coefficients entiers.

Introduction à la théorie de Galois. Soit K un corps tel que ℚ ⊆ K ⊆ ℂ ; on appelle \underline{groupe de Galois} G de K sur ℚ le groupe de tous les morphismes bijectifs de K sur lui-même qui sont l’identité sur ℚ. Soit P ∈ ℚ[X] un polynôme à coefficients rationnels, dont toutes les racines complexes sont en fait dans K ; on suppose de plus que si α, α′ sont deux racines (complexes) de P il existe σ ∈ G tel que α′ = σ(α) (on dit que G opère transitivement sur l’ensemble des racines complexes de P). Montrer que P est irréductible sur ℚ[X].

Un super-grand-classique. On appelle nombre algébrique (sur ℚ) un nombre complexe qui est racine d’un polynôme de ℚ[X], et on appelle ℚ̄ l’ensemble des nombres algébriques (sur ℚ).

(i) Montrer que ℚ̄ est un corps. (ii) Montrer que tout polynôme non constant de ℚ̄[X] est scindé (i.e. ℚ̄ est algébriquement clos).

Exercice inqualifié. Montrer que les polynômes suivants sont irréductibles dans ℚ[X] : X^{2} + 1, X^{2}+X+1, X^{2}+2X+2, X^{3}+2X+2, X^{4}+2X+2, X^{4}+5X^{3}+10X^{2}+10X+5, X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1.

Exercice trivial. Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas des polynômes : x ↦ e^{x}, x ↦ cos x, x ↦ \sqrt{x^{2} + 1}.

Corps de rupture. Soit K un corps, et P ∈ K[X] de degré d ≥ 2. On appelle L le Kespace vectoriel des polynômes de K[X] de degré strictement inférieur à d. On munit L d’une multiplication ⋆ de la manière suivante : si x, y ∈ L, alors x ⋆ y est le reste de la division euclidienne de xy par P. Montrer que cette multiplication donne à L une structure de K-algèbre, et que cette K-algèbre est un corps ssi P est irréductible. Montrer de plus que, dans ce cas, P admet une racine dans L.

Anneau des séries formelles. On appelle \underline{série formelle} à coefficients dans un corps K une suite (P_{i})_{i∈ℕ} d’éléments de K[X] telle que pour tout i, P_{i} soit de degré au plus i, et P_{i+1}−P_{i} de valuation au moins i + 1. On note K[[X]] l’ensemble des séries formelles à coefficients dans K. On définit deux opérations + et × sur K[[X]] par (P_{i}) + (Q_{i}) = (P_{i} + Q_{i}) et (P_{i}) × (Q_{i}) = (R_{i}) où R_{i} est le reste de la division euclidienne de P_{i}Q_{i} par X^{i+1}. Montrer qu’elles font de K[[X]] un anneau intègre.

Idéaux de K[X]. On appelle \underline{idéal} de K[X] un sous-groupe additif 𝔦 de K[X] tel que AP ∈ 𝔦 dès que A ∈ K[X] et P ∈ 𝔦. Montrer que si P ∈ K[X] alors l’ensemble (P) = {P Q: Q ∈ K[X]} est un idéal de K[X] ; un tel idéal est dit \underline{principal}. Montrer que tout idéal de K[X] est principal (on dit que K[X] est un anneau principal).

Lemme des noyaux. Soient P, Q ∈ ℂ[X] deux polynômes premiers entre eux, et u un endomorphisme d’un ℂ-espace vectoriel E (i.e. u est une application linéaire de E dans E). Montrer que

ker P Q(u) = ker P (u) ⊕ ker Q(u)

Autre grand classique. Soit P ∈ ℝ[X] tel que P (−x) = P (x) pour tout x. Montrer que P n’a que des monômes de degré pair.