Exercices de khôlle pour la MPSI

Douzième semaine

David A. Madore

                           david.madore@clipper.ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

(Jusqu’à présent : Moyenne des notes : 14.64 ± 0.35. Écart type : 2.87.

Théorème de d’Alembert-Gauss. On se propose de montrer que tout polynôme P non constant à coefficients complexes admet au moins une racine (on dit que “ℂ est algébriquement clos”). Soit donc P ∈ ℂ[X] non constant et supposons par l’absurde que P (z) ≠ 0 pour tout z complexe.

(i) Montrer que z ↦ |P (z)| atteint sa borne inférieure (on pourra pour cela montrer que |P (\frac{1}{t})| → +∞ lorsque t → 0). Soit z_{0} le point où cette borne inférieure est atteinte.

(ii) Expliquer comment se ramener à z_{0} = 0 et P (0) = 1. (iii) Dans ces circonstances, considérer P (εe^{iθ}) pour ε très petit et θ jusicieusement choisi, et arriver

à une contradiction.

Résolution de l’équation générale du troisième degré ; la méthode de Cardan. On se propose de décrire une méthode permettant de résoudre dans ℂ l’équation Ax^{3} +Bx^{2} +Cx+D = 0.

(i) Expliquer comment se ramener à x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0. (ii) Expliquer comment, par une translation, se ramener à x^{3} + px + q = 0. (iii) Résoudre l’équation en posant z = u + v où 3uv = −p.

“L’anneau gaussien est euclidien”. On appelle \underline{entier gaussien} un complexe de la forme a + ib où a, b ∈ ℤ. On pose alors f(a + ib) = a^{2} + b^{2}.

(i) Montrer que l’ensemble ℤ[i] des entiers gaussiens est un anneau (commutatif). (ii) Déterminer le groupe des éléments inversibles de ℤ[i]. (iii) Montrer que pour tout z ∈ ℂ il existe z̃ ∈ ℤ[i] tel que |z − z̃| ≤ \frac{\sqrt{2}}{2}. (iv) Montrer que pour α ∈ ℤ[i] et β ∈ ℤ[i] \ {0} il existe q, r ∈ ℤ[i] tels que α = βq + r avec

f(r) < f(β).

(v) Y a-t-il unicité de q et r ? (vi) On dit que π ∈ ℤ[i] est \underline{irréductible} ssi, lorsque π = ab dans ℤ[i] on a f(a) = 1 ou f(b) = 1.

Montrer que 1 + i et 3 sont irréductibles dans ℤ[i] mais que 2 et 5 ne le sont pas. (vii) Soit a ∈ ℤ[i] : montrer qu’il existe π_{1}, …, π_{n} irréductibles, et r_{1} …, r_{n} naturels non nuls tels

que a = π_{1}^{r_{1}} ⋯ π_{n}^{r_{n}}. (viii) Montrer qu’une telle décomposition est essentiellement unique dans le sens suivant: si a =

π_{1}^{r_{1}} ⋯ π_{n}^{r_{n}} = τ_{1}^{s_{1}} ⋯ τ_{m}^{s_{m}} en sont deux, alors m = n, et quitte à réordonner les termes, on a τ_{1} = u_{1}π_{1}, …, τ_{n} = u_{n}π_{n} avec f(u_{i}) = 1 pour tout i.

Étude du demi-plan de Poincaré et du groupe modulaire. On appelle demi-plan de Poincaré l’ensemble ℌ = {z ∈ ℂ: ℑz > 0} (où ℑz est la partie imaginaire de z). On appelle groupe modulaire l’ensemble G des applications de la forme

z ↦ \frac{az + b}{cz + d}

avec a, b, c, d ∈ ℤ et ad − bc = 1.

(i) Montrer que le groupe modulaire est bien un groupe. (ii) On appelle domaine fondamental du groupe modulaire la partie D de ℂ définie par |z| ≥ 1 et

|ℜz| ≤ \frac{1}{2} (où ℜz est la partie réelle de z). Représenter graphiquement D. (iii) On se propose de montrer que pour tout z ∈ ℌ il existe g ∈ G tel que g(z) ∈ D :

a) Justifier l’existence de g ∈ G tel que ℑg(z) soit maximum. b) Dans ce cas, quitte à translater par k (car x ↦ x + k est dans G), on peut supposer |ℜg(z)| ≤ \frac{1}{2}. Montrer alors, en considérant la partie imaginaire de −1/g(z), que |g(z)| ≥ 1, soit que g(z) ∈ D

(iv) Pour z ∈ ℌ, on s’intéresse maintenant à {g ∈ G: g(z) = z}, qui est un sous-groupe de G (démonstration ?), appelé le stabilisateur de z. Déterminer ce stabilisateur ; on distinguera notamment les deux cas particuliers z = i, z = et z = −j^{2}. (Indication : On peut supposer que ℑgz ≥ ℑz, auquel cas |cz + d| ≤ 1.)

(v) Montrer que G est engendré par les deux éléments z ↦ z + 1 et z ↦ −1/z.

Introduction aux réseaux elliptiques. Considérons l’ensemble E des couples (ω_{1}, ω_{2}) de complexes non nuls tels que ℑ(ω_{2}/ω_{1}) > 0 (où ℑ désigne la partie imaginaire). Si (ω_{1}, ω_{2}) ∈ E, on définit Λ(ω_{1}, ω_{2}) = {kω_{1} + ℓω_{2}: k, ℓ ∈ ℤ}. On définit une relation d’équivalence ∼ sur E par (ω_{1}, ω_{2}) ∼ (ω′_{1}, ω′_{2}) ssi Λ(ω_{1}, ω_{2}) = Λ(ω′_{1}, ω′_{2}). Montrer que dans ce cas, ℑ(ω_{1}ω̄_{2}) = ℑ(ω′_{1}ω̄′_{2}). Interprétation géométrique ?

Exercice de coloriage. On suppose données trois parties D_{1}, D_{2}, D_{3} de ℂ, deux à deux disjointes et telles que D_{1} ∪ D_{2} ∪ D_{3} = ℂ. Montrer qu’il existe deux complexes z, z′ appartenant à la même partie et tels que |z − z′| = 1.

Introduction à la théorie de Galois. Première partie : le tracé du pentagone. Soit ζ = e^{2iπ/5}. On pose ω = ζ + ζ^{4} ; calculer ω^{2} + ω ; en déduire la valeur de ω ; calculer ζ^{2} − ωζ ; en déduire la valeur de ζ (c’est-à-dire une expression de ζ construite à partir des entiers en prenant des sommes, différences, produits, quotients, et racines carrées). En particulier, donner la valeur de cos \frac{2π}{5} . Deuxième partie : le tracé du polygone à 17 côtés (Gauss, âgé de 19 ans). Soit ζ = e^{2iπ/17}. On pose ω = ζ + ζ^{2} + ζ^{4} + ζ^{8} + ζ^{16} + ζ^{15} + ζ^{13} + ζ^{9} ; calculer ω^{2} + ω ; en déduire la valeur de ω ; on pose λ = ζ + ζ^{4} + ζ^{16} + ζ^{13} ; calculer λ^{2} − ωλ ; en déduire la valeur de λ ; on pose μ = ζ + ζ^{16} ; calculer μ^{2} − λμ ; en déduire la valeur de μ ; calculer ζ^{2} − μζ ; en déduire la valeur de ζ.