Exercices de khôlle pour la MPSI

Onzième semaine

David A. Madore

                           david.madore@clipper.ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

(Statistiques jusqu’à présent : Moyenne des notes : 14.51 ± 0.36. Écart type : 2.85. Meilleure note : 20. Plus mauvaise note : 08.)

DL retors. Donner un développement limité à l’ordre 2 en 0 de arccos(1 − x) − \sqrt{2x}.

Formule de Stirling. On considère la suite (u_{n}) donnée par

u_{n} = \frac{n^{n}e^{−n}\sqrt{n}}{n!}

En étudiant la nature de la série de terme général v_{n} = ln(u_{n+1}/u_{n}), montrer qu’il existe une constante k telle que

n! ∼ k\sqrt{n} n^{n}e^{−n}

(lorsque n → +∞).

Le développement itéré du sinus. Soit x ∈]0; π[. On définit par récurrence la suite (u_{n}) avec u_{0} = x et u_{n+1} = sin u_{n}. 1) Montrer que u_{n} → 0. 2) Trouver la limite de \frac{1}{u_{n+1}^{2}} − \frac{1}{u_{n}^{2}} et en déduire un équivalent de u_{n}.

Exercice immonde. 1) Trouver la limite λ quand x → 0 de \frac{1}{sin^{2} x} − \frac{1}{sinh^{2} x} (on rappelle que sinh x = \frac{e^{x}−e^{−x}}{2} ). 2) Trouver la limite de

\frac{\frac{1}{sin^{2} x} − \frac{1}{sinh^{2} x} − λ}{x^{4}}

Exercice simplet. Trouver la limite en 0^{+} de

\frac{x^{x^{x}} ln x}{x^{x} − 1}

Exercice triiiiivial. Donner un développement limité à l’ordre 3 de x^{y} à x fixé pour y → 0, puis à y fixé pour x → 1.

Exercice qui n’a rien, mais alors rien, à voir avec les développements limités, et qui devrait donc logiquement venir se placer dans le programme de khôlle de la semaine suivante, mais qui se trouve ici pour une raison assez simple. On appelle S_{n} = {ζ^{k}: k = 0...n − 1} (où ζ = e^{2iπ/n}) l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité, et U le cercle unité. On considère f: S_{n} → U quelconque, et 0 ≤ k ≤ \frac{n}{2}. Montrer qu’il existe 0 ≤ i, j ≤ n tels que

|f(ζ^{i}) − f(ζ^{j})| ≤ |1 − ζ^{k}| ≤ |ζ^{i} − ζ^{j}|

(Cet exercice vous était proposé par l’École Normale Supérieure de Paris.)

Indications : On commencera a montrer qu’il existe un arc fermé I de longueur 2kπ/n tel que T := f^{−1}(I) soit de cardinal au moins k + 1 (on considérera les arcs semiouverts de longueur 2kπ/n, et on en mettra n bout à bout). On montrera alors qu’il existe ζ^{i}, ζ^{j} ∈ T tels que |ζ^{i} − ζ^{j}| ≥ |1 − ζ^{k}| (se ramener au cas où 1 ∈ T, et procéder par l’absurde en utilisant un argument de dénombrement).