Exercices de khôlle pour la MPSI

Dixième semaine

David A. Madore

                           david.madore@clipper.ens.fr
               http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/index.html

(Statistiques jusqu’à présent : Moyenne des notes : 14.50 ± 0.40. Écart type : 2.95. Meilleure note : 20. Plus mauvaise note : 08.)

Exercice typique. Soient a, b deux réels vérifiant 0 < a < b, et soit f: [a; b] → ℝ dérivable telle que f(a) = f(b) = 0. Montrer qu’il existe x ∈]a; b[ tel que f′(x) = \frac{f(x)}{x}. Interprétation géométrique ?

Exercice classique. Soit P un polynôme non nul à coefficients entiers de degré n, et ξ une racine de P. Montrer qu’il existe une constante C telle que pour tout rationnel \frac{p}{q} (avec p ∈ ℤ et q ∈ ℕ^{∗}) distinct de ξ, on ait

|ξ − \frac{p}{q}| > \frac{C}{q^{n}}

En déduire un exemple d’un nombre qui n’est racine d’aucun polynôme non nul à coefficients entiers (un tel nombre est dit “transcendant”).

Remarque : Exercice posé à l’écrit du Concours d’entrée à la rue d’Ulm en 1995, et du Concours des Mines en 1996. Ce théorème est dû à Liouville, qui fut le premier à exhiber un nombre transcendant. Plus tard, Hermite montra la transcendance de e, et Lindemann celle de π. L’inégalité proposée ci-dessus peut être améliorée : un théorème dû à Roth, et qui valut la médaille Fields à celui-ci, affirme que n peut être remplacé par tout réel strictement supérieur à 2.

Exercice complètement délirant, que je n’oserai pas poser, mais qui peut être intéressant en, disons, six heures. On appelle nombre 2-adique une application μ: ℤ → {0, 1} telle que μ(k) ≠ 0 seulement pour un nombre fini de valeurs négatives de k. On appellera 0 le nombre 2-adique k ↦ 0, et 1 le nombre 2-adique 0 ↦ 1, k ↦ 0 si k ≠ 0. On appelle ℤ_{2} l’ensemble des nombres 2-adiques, et on définit une addition sur ℤ_{2} de la façon suivante : si μ, ν ∈ ℤ_{2}, alors on pose τ(k) = 1 (la “retenue”) s’il existe ℓ < k tel que μ(ℓ) = ν(ℓ) = 1 et que pour tout m tel que ℓ < m < k on ait μ(m) = 1 ou ν(m) = 1, τ(k) = 0 sinon, et on définit (μ + ν)(k) comme valant 1 si un nombre impair des trois nombres μ(k), ν(k), τ(k) valent 1, et 0 sinon. On définit également une multiplication sur ℤ_{2}, de la façon suivante : si μ, ν ∈ ℤ_{2}, alors on définit μ_{k} comme valant 0 si ν(k) = 0, et μ_{k}(ℓ) = μ(ℓ−k) sinon, et on pose σ_{r} = μ_{0} +μ_{1} +⋯+μ_{r} (avec l’addition qu’on vient de définir) ; pour tout k, la suite σ_{r}(k) est constante à partir d’un certain rang (pourquoi ?), et on définit (μν)(k) comme cette constante. Montrer que ℤ_{2}, muni de ces lois, est un corps commutatif. Ceci étant, on dit qu’une suite (μ_{n}) de nombres 2-adiques tend vers 0 ssi pour tout k il existe n_{0} tel que μ_{n}(k) = 0 lorsque n ≥ n_{0}, et on dit qu’une suite (μ_{n}) tend vers μ ssi (μ_{n} − μ) tend vers 0. Enfin, si f: ℤ_{2} → ℤ_{2} est une fonction 2-adique, on dit que f est dérivable de dérivée f′ ssi pour tout μ ∈ ℤ_{2} et toute suite (μ_{n}) de limite μ la suite \frac{f(μ_{n})−f(μ)}{μ_{n}−μ} a pour limite f′(μ). Soit f la fonction qui a μ ∈ ℤ_{2} associe ν défini par ν(2k) = μ(k) et ν(2k + 1) = 0 : montrer que f est dérivable et de dérivée nulle partout (pourtant, f n’est pas constante).

Démonstration la plus facile du théorème de Darboux. On se propose de montrer que la dérivée d’une fonction continue sur un segment vérifie la propriété des valeurs intermédiaires. Soit donc I un intervalle fermé borné de ℝ, et f: I → ℝ dérivable. Soient x, y ∈ I, et λ compris entre f′(x) et f′(y). On définit φ, ψ sur ]x; y[ par φ(t) = \frac{f(x)−f(t)}{x−t} et ψ(t) = \frac{f(y)−f(t)}{y−t}. Montrer que φ, ψ se prolongent par continuité à [x, y], et qu’alors λ appartient à φ([x, y]) ou ψ([x, y]). En déduire le théorème de Darboux.

Exercice piège-à-∗ ∗ ∗. Soit f: ℝ → ℝ une fonction réelle s’annulant en une infinité de points distincts. On suppose f dérivable : montrer que sa dérivée vérifie la même propriété.

Exercice remarquable. Soient I, J deux intervalles ouverts de ℝ, et f: I → J bijective continue, de classe C^{k} et telle que f′ ne s’annule pas sur I. Montrer alors que la réciproque f^{−1} de f est également de classe C^{k}.

Fonctions à variation bornée. Soit I = [a; b] un intervalle fermé borné (avec a < b). On rappelle qu’une subdivision σ de I est une suite finie vérifiant a = a_{0} < a_{1} < … < a_{n} = b. Pour f: I → ℝ et σ = (a_{0}, …, a_{n}) une subdivision de I, on pose V_{σ}(f) = ∑_{i=0}^{n−1} |f(a_{i+1}) − f(a_{i})|. De plus, on appelle V_{I}(f) le sup (éventuellement infini) des V_{σ}(f) pour σ une subdivision de I. Lorsque V_{I}(f) < +∞, on dit que f est à variation bornée, et V_{I}(f) s’appelle sa variation totale. Dans ces conditions, montrer que si x < y < z sont trois points de I alors V_{[x,y]}(f) + V_{[y,z]}(f) = V_{[x,z]}(f) (relation de Chasles). Montrer qu’une fonction C^{1} (ou d’ailleurs, une fonction lipschitzienne) est à variation bornée. Montrer qu’une fonction est à variation bornée ssi elle est différence de deux fonctions monotones (pour le “seulement si”, on pensera à utiliser la relation de Chasles). Montrer que toute fonction continue (ou même, dérivable) sur un compact n’est pas nécessairement à variation bornée.

Exercice assez facile. Soit I = [a; b] un intervalle fermé borné, avec a < b, et f, g: I → ℝ dérivables. Montrer qu’il existe c ∈]a; b[ tel que

| \begin{matrix}f(b) − f(a) & g(b) − g(a) \\ f′(c) & g′(c) \end{matrix} | ≠ 0

(on rappelle que ce déterminant vaut, par définition, (f(b) − f(a))g′(c) − (g(b) − g(a))f′(c)).

Exercice à peu près infaisable. Soit f: I → ℝ une fonction monotone, où I est un intervalle de ℝ. Montrer qu’il existe un point en lequel f est dérivable.

Exercice très intuitif. Soit f: [0; 1] → [0; 1]^{2} une application C^{1} (c’est-à-dire que f(t) = (f_{1}(t), f_{2}(t)) pour tout t ∈ [0, 1] avec f_{1}, f_{2}: [0; 1] → [0; 1] de classe C^{1}). Montrer que f n’est pas surjective.

Remarque : Peano a montré que la conclusion ne tient plus si on suppose seulement f continue.

Exercice infect et malheureusement classique. Soit g une fonction réelle impaire définie et cinq fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant 0, et x un point de cet intervalle ; montrer qu’il existe ξ ∈]0; x[ tel que

g(x) = \frac{x}{3}(g′(x) + 2g′(0)) − \frac{x^{5}}{180}g^{(5)}(ξ)

(on pourra poser h(t) = g(t) − \frac{t}{3}(g′(t) + 2g′(0)) + a\frac{t^{5}}{180} avec a convenablement choisi, et commencer

par montrer la formule avec \frac{g^{(4)}(ζ)}{ζ} au lieu de g^{(5)}(ξ)). En déduire que si f est une fonction réelle définie et cinq fois dérivable sur un intervalle [a; b] avec a < b, alors il existe ξ ∈ [a; b] tel que

f(b) − f(a) = \frac{b − a}{6} [f′(a) + f′(b) + 4f′ (\frac{a + b}{2})] − \frac{(b − a)^{5}}{2880} f^{(5)}(ξ)

(Cette formule s’appelle la formule de Simpson, et sert à approcher les intégrales.)