Idéaux premiers associés

et décomposition primaire David A. Madore ( )

27/10/97

1. Idéaux premiers associés.

Définition (1.1). Soit A un anneau et M un A-module. Un idéal premier 𝔭 de A est appelé \underline{idéal premier associé} de M lorsque 𝔭 est l’annulateur d’un élément (nécessairement non nul) de M. On note Ass(M) et on appelle \underline{assassin} de M l’ensemble des idéaux premiers associés de M. Lorsque I est un idéal de A, on définit les idéaux premiers associés de I comme ceux du A-module A/I.

Il est clair qu’un idéal premier 𝔭 de A est un idéal premier associé de M si et seulement si M a un sous-module isomorphe à A/𝔭. En effet, si 𝔭 est l’annulateur de x ∈ M, on a Ax ≅ A/𝔭 ; réciproquement, si A/𝔭 ↪ M, l’image de 1 (ou d’ailleurs de tout élément non nul puisque A/𝔭 est intègre) a 𝔭 pour annulateur. Remarquons que tout idéal premier associé à M contient ann(M).

Remarquons par ailleurs que si N est un sous-module de M, on a trivialement Ass(N) ⊆ Ass(M).

On a Ass(0) = ∅. Sur un anneau noethérien, la réciproque est vraie, et pour le démontrer nous avons besoin du lemme suivant :

Lemme (1.2). Soit M un A-module, et 𝔭 un élément maximal pour l’inclusion parmi l’ensemble des annulateurs des éléments non nuls de M. Alors 𝔭 est premier, donc 𝔭 ∈ Ass(M).

Soit 𝔭 = ann(x) un tel élément maximal. Il est clair que 𝔭 ≠ A. Remarquons aussi que pour tout c ∈ A tel que cx ≠ 0, on a ann(cx) ⊇ ann(x) donc ann(cx) = 𝔭. Soient maintenant a, b ∈ A tels que ab ∈ 𝔭. Ainsi, abx = 0, mais alors soit b annule x ≠ 0, soit a annule bx ≠ 0. Dans le premier cas, b ∈ ann(x) = 𝔭 ; dans le second, a ∈ ann(bx) = 𝔭. Ce qu’il fallait démontrer.

On en déduit aussitôt la

Proposition (1.3). Soit A un anneau noethérien et M ≠ 0 un A-module. Alors Ass(M) ≠ ∅.

Et par ailleurs le même lemme nous permet de montrer

Proposition (1.4). Soit A un anneau noethérien et M un A-module. Alors l’union des idéaux premiers associés de M est exactement l’ensemble de homothéties non injectives sur M (c’est-à-dire des a ∈ A tels que ax = 0 pour un x ≠ 0 de M).

Si a est dans un idéal premier associé 𝔭 de M, alors 𝔭 est l’annulateur d’un x ∈ M \{0} et donc ax = 0. Réciproquement, si ax = 0 avec x ∈ M \{0}, on a a ∈ ann(x), et le lemme montre que ann(x) est contenu dans un idéal premier associé de M.

Proposition (1.5). Soit 0 → M′ → M → M′′ → 0 une suite exacte de modules sur un anneau A. Alors

Ass(M′) ⊆ Ass(M) ⊆ Ass(M′) ∪ Ass(M′′)

Nous avons déjà signalé la première inclusion. Prouvons la seconde : soit 𝔭 ∈ Ass(M). Alors il existe un sous-module N de M isomorphe à A/𝔭. S’il existe un élément non nul x dans N ∩ M′ (on identifie M′ a son image dans M), alors l’annulateur de x est 𝔭 (puisque A/𝔭 est un anneau intègre), donc 𝔭 ∈ Ass(M′). En revanche, si N ∩ M′ = 0, alors N s’envoie isomorphiquement dans M′′ donc 𝔭 ∈ Ass(M′′).

Proposition (1.6). Si (M_{i})_{i∈I} est une famille de A-modules, alors Ass(⨁_{i} M_{i}) = ⋃_{i} Ass(M_{i}).

On se ramène au cas où I est fini en constatant que tout élément de la somme directe des M_{i} appartient déjà à la somme directe d’un nombre fini des M_{i} (et y a le même annulateur). Par récurrence sur le cardinal de I, on se ramène au cas de deux modules : M = M′ ⊕ M′′. Alors la proposition précédente montre que Ass(M′) ⊆ Ass(M) ⊆ Ass(M′) ∪ Ass(M′′) et Ass(M′′) ⊆ Ass(M) ⊆ Ass(M′) ∪ Ass(M′′), d’où le résultat.

Théorème (1.7) (“dévissage”). Soit M un module de type fini sur un anneau noethérien A. Alors il existe une suite

0 = M_{0} ⊆ M_{1} ⊆ ⋯ ⊆ M_{n} = M

telle que pour tout i on ait M_{i+1}/M_{i} ≅ A/𝔭_{i} avec 𝔭_{i} un idéal premier.

On construit les M_{i} par récurrence sur i. On pose M_{0} = 0. Si M/M_{i} ≠ 0, alors il existe, d’après la proposition (1.3), un idéal premier associé 𝔭_{i} de M/M_{i}, et donc un sousmodule M_{i+1} de M tel que M_{i+1}/M_{i} ≅ A/𝔭_{i}. La suite de modules (M_{i}) est croissante, et comme M est noethérien, elle est stationnaire, donc il existe n tel que M_{n} = M, et la construction s’arrête là.

Il n’est pas toujours vrai qu’on peut trouver une telle suite où les 𝔭_{i} soient de plus des idéaux premiers associés de M. (Les modules M pour lesquels c’est possible s’appellent “clean” en anglais.) Par ailleurs, les 𝔭_{i} ne sont pas uniquement déterminés.

En revanche, on remarquera que d’après la proposition (1.5), tous les idéaux premiers associés de M sont parmi les 𝔭_{i}. Ceci nous démontre au passage le

Corollaire (1.8). Soit M un module de type fini sur un anneau noethérien A. Alors Ass(M) est fini.

2. Idéaux premiers associés et localisation.

Proposition (2.1). Soit A un anneau noethérien, et S une partie multiplicative de A. Alors pour tout A-module M, l’assassin de S^{−1}M est exactement l’ensemble des S^{−1}𝔭 pour 𝔭 ∈ Ass_{A} M ne rencontrant pas S.

Si 𝔭 ∈ Ass_{A} M ne rencontre pas S, alors S^{−1}𝔭 est un idéal premier de S^{−1}A. De plus, comme on a une injection A/𝔭 ↪ M, on en déduit par localisation une injection (S^{−1}A)/(S^{−1}𝔭) ↪ S^{−1}M (par exactitude de la localisation). Ainsi, S^{−1}𝔭 est dans Ass_{S^{−1}A} S^{−1}M. (Remarquons que cette partie n’utilise pas le fait que A est noethérien.)

Réciproquement, si 𝔮 est un idéal premier associé du S^{−1}A-module S^{−1}M, on sait qu’on peut écrire 𝔮 = S^{−1}𝔭 avec 𝔭 un idéal premier de A ne rencontrant pas S. Supposons que 𝔮 soit l’annulateur d’un x ∈ S^{−1}M : on peut sans perte de généralité supposer que x est dans l’image de M. Soient a_{1}, …, a_{n} des générateurs de 𝔭 (ce qui est possible puisque A est noethérien), de sorte qu’on a s_{i}a_{i}x = 0 pour des s_{i} ∈ S. Si on pose s = s_{1} ⋯ s_{n}, on a alors sax = 0 pour tout a ∈ 𝔭. Ainsi, 𝔭 contient l’annulateur de sx dans M. Mais d’autre part, tout élément de A qui annule sx dans M l’annule aussi dans S^{−1}M, donc annule x dans S^{−1}M, et est donc dans 𝔭. Ceci montre 𝔭 = ann_{M}(sx), ce qu’il fallait démontrer.

Rappelons que pour un module M sur un anneau A, on appelle support de M et on note Supp(M) l’ensemble des idéaux premiers 𝔭 de A tels que M_{𝔭} ≠ 0.

Proposition (2.2). Soit M un module sur un anneau noethérien A. Alors Ass(M) ⊆ Supp(M) et ces deux ensembles ont les mêmes éléments minimaux.

Si 𝔭 ∈ Ass(M), alors d’après la proposition (2.1), en notant S = A \ 𝔭, on a S^{−1}𝔭 ∈ Ass_{S^{−1}A}(S^{−1}M). Mais ceci signifie que S^{−1}M = M_{𝔭} est non nul, donc 𝔭 ∈ Supp(M).

Pour montrer que Ass(M) et Supp(M) ont les mêmes éléments minimaux, il suffit alors de montrer que tout élément 𝔭 de Supp(M) contient un élément de Ass(M). Notons encore S = A\𝔭. Alors par définition S^{−1}M = M_{𝔭} est non nul, et par la proposition (1.3) il existe un idéal premier associé de S^{−1}M (comme S^{−1}A-module), lequel s’écrit S^{−1}𝔮 d’après la proposition (2.1), avec 𝔮 un élément de Ass(M) disjoint de S, c’est-à-dire contenu dans 𝔭, ce qu’il fallait démontrer.

Remarques : (1) Si M est un A-module, où A est un anneau noethérien, alors M s’injecte dans ∏_{𝔭∈Ass(M)} M_{𝔭} ; en particulier, pour montrer qu’un élément de M est nul, il suffit de montrer qu’il se localise en zéro en les éléments de Ass(M) (plutôt qu’en tout idéal premier de A).

(2) Sous les hypothèses et notations du théorème (1.7), les éléments minimaux parmi les 𝔭_{i} coïncident également avec les éléments minimaux de Ass(M) ou Supp(M). De plus, un élément 𝔭 de Supp(M) est minimal si et seulement si M_{𝔭} est de longueur finie^{∗}, et alors cette longueur est le cardinal de {i: 𝔭_{i} = 𝔭}.

3. Modules primaires et décomposition primaire.

Définition (3.1). Un module M non nul sur un anneau A est dit \underline{coprimaire} lorsque toute homothétie non injective sur M est nilpotente. Lorsque 𝔭 est l’idéal formé des homothéties nilpotentes sur M, on dit que M est \underline{𝔭-coprimaire}. Un sous-module N d’un module M est dit [𝔭-]\underline{primaire} (par rapport à M) lorsque M/N est [𝔭-]coprimaire. En particulier, un idéal I est dit [𝔭-]primaire lorsque A/I est [𝔭-]coprimaire.

Avec les notations ci-dessus, on remarque que 𝔭 est nécessairement premier ; en effet, la composée de deux homothéties injectives est injective.

Dire qu’un idéal propre I est primaire revient à dire que si a, b ∈ A avec b ∉ I mais ab ∈ I, alors a ∈ √I. En particulier, les idéaux premiers sont primaires, et tout idéal primaire radical est premier. De plus, si I est primaire, il est 𝔭-primaire où 𝔭 = √I est sa racine. Naturellement, si I est primaire alors √I est premier ; la réciproque n’est cependant pas vraie, comme le contre-exemple I = (x^{2}, xy) ⊆ k[x, y] le prouve : √I = (x) est premier, mais I n’est pas primaire (puisque xy ∈ I alors que x ∉ I et y ∉ √I).

Proposition (3.2). Soit A un anneau noethérien. Alors un A-module M de type fini est coprimaire si et seulement si Ass(M) est réduit à un seul élément, 𝔭, qui est alors la racine de I = ann(M), et de plus I et M sont 𝔭-primaire et 𝔭-coprimaire respectivement.

Supposons Ass(M) = {𝔭}. Alors d’après la proposition (2.2), Supp(M) est l’ensemble des idéaux premiers de A contenant 𝔭. Or on sait que Supp(M) est l’ensemble des idéaux premiers contenant I. Ceci montre 𝔭 = √I. Sachant que 𝔭 est l’ensemble des homothéties non injectives de M (proposition (1.4)) et que √I est l’ensemble des homothéties nilpotentes de M, on a l’implication “si” et le fait que M est 𝔭-primaire.

∗ Un module M est dit de longueur finie n lorsqu’il existe une suite 0 = M_{0} ⊆ M_{1} ⊆ ⋯ ⊆ M_{n} = M avec M_{i+1}/M_{i} simple, c’est-à-dire isomorphe à A/𝔪, où 𝔪 est un idéal maximal. Le théorème de Jordan-Hölder assure que la longueur d’un module de longueur finie est bien définie.

À présent, si M est coprimaire et 𝔭 ∈ Ass(M), alors tout a ∈ 𝔭 est une homothétie non injective, donc appartient à √I par hypothèse. Ainsi 𝔭 ⊆ √I. Mais d’autre part, il est évident que I ⊆ 𝔭, et donc √I ⊆ 𝔭. On a donc 𝔭 = √I et Ass(M) = {√I} (puisque Ass(M) est non vide, proposition (1.3)).

Montrons enfin que dans ces circonstances, I est (𝔭-)primaire. Si a, b ∈ A vérifient ab ∈ I mais b ∉ I, alors abM = 0 mais bM ≠ 0, donc a est une homothétie non injective sur M, et comme on l’a vu ceci implique a ∈ √I, ce qu’il fallait démontrer.

Remarque : La définition d’un module primaire que nous avons donnée est celle trouvée dans [Mat] (mis à part que nous ne considérons pas qu’un module est primaire par rapport à lui-même) ou [Lan]. On trouve dans [Bou] une définition légèrement différente : un sous-module N d’un module M sur un anneau noethérien A est dit primaire lorsque toute homothétie a de M/N non injective est presque nilpotente dans le sens que pour tout x ∈ M/N il existe n(x) ∈ ℕ tel que a^{n(x)}(x) = 0. Ceci a l’intérêt de permettre d’étendre quelques résultats à des modules qui ne sont pas de type fini. Mais dans le cas réellement intéressant des modules de type fini sur un anneau noethérien, les deux définitions coïncident.

Proposition (3.3). Si N_{1}, …, N_{k} sont des sous-modules 𝔭-primaires d’un module M sur un anneau A, alors N_{1} ∩ ⋯ ∩ N_{k} est 𝔭-primaire.

Soit N = N_{1} ∩ ⋯ ∩ N_{k}, et soit a ∈ 𝔭 : alors il existe des n_{i} tel que a^{n_{i}}x ∈ N_{i} pour tout x ∈ M, et si n = max_{i=1}^{k} n_{i}, on a a^{n}x ∈ N pour tout x ∈ M, donc l’homothétie de rapport a est nilpotente sur M/N. Si a ∉ 𝔭 et x ∉ N, il existe i tel que x ∉ N_{i}, et alors ax ∉ N_{i} donc ax ∉ N, donc l’homothétie de rapport a est injective sur M/N.

Définition (3.4). Si M est un A-module, et que N est un sous-module de M, une \underline{décomposition primaire} de N (dans M) est une écriture N = ⋂_{i∈I} M_{i} avec I fini et chaque M_{i} un sous-module 𝔭_{i}-primaire de M pour un certain idéal premier 𝔭_{i} de A. Si les 𝔭_{i} sont deux-à-deux distincts et que tous les M_{i} sont nécessaires (i.e. que pour tout j, ⋂_{i≠j} M_{i} est strictement plus grand que N), on dit que la décomposition primaire en question est \underline{réduite}. Les éléments minimaux pour l’inclusion parmi les 𝔭_{i} sont dits \underline{isolés}, les autres sont dits \underline{immergés}.

En faisant usage de la proposition (3.3) et en retirant les sous-modules superflus, il est clair qu’à partir d’une décomposition primaire on peut en obtenir une réduite.

Le résultat principal concernant les décompositions primaires est le suivant, pour la démonstration duquel nous renvoyons le lecteur à [Bou], [Eis], [Lan] ou [Mat] :

Théorème (3.5). Soit M un module de type fini sur un anneau noethérien A. Alors pour tout sous-module N de M,

(i) N admet une décomposition primaire. (ii) Si N = ⋂_{i∈I} M_{i} est une décomposition primaire réduite de N, avec M_{i} un sous-

module 𝔭_{i}-primaire pour tout i, alors les 𝔭_{i} sont précisément les idéaux premiers associés à M ; en particulier, ils sont uniquement déterminés, et le nombre de termes d’une décomposition primaire réduite est également déterminé.

(iii) De plus, avec les notations du (ii), pour tout i tel que 𝔭_{i} soit isolé, M_{i} est le noyau de M/N → (M/N)_{𝔭_{i}} (i.e. l’ensemble des éléments de M envoyés dans N par un élément de A qui n’est pas dans 𝔭_{i}) ; en particulier, ces M_{i} sont déterminés : on les appelle les \underline{composantes primaires} correspondant aux idéaux premiers isolés.

Pour résumer : la décomposition primaire réduite existe, fait intervenir exactement les idéaux premiers associés, et les composantes primaires correspondant aux idéaux premiers isolés sont déterminés.

Le théorème (3.5) est particulièrement important dans le cas où M = A et N est un idéal. Dans le cas d’un idéal radical, on a le résultat beaucoup plus simple suivant :

Corollaire (3.6). Soit 𝔯 un idéal radical d’un anneau noethérien A. Alors il existe des idéaux premiers (𝔭_{i})_{i∈I} (I fini) tels que 𝔯 = ⋂_{i∈I} 𝔭_{i}, avec 𝔭_{j} ⊉ ⋂_{i≠j} 𝔭_{i} pour tout j. De plus, les 𝔭_{i} sont alors uniquement déterminés à permutation près.

Au vu du théorème (3.5), la seule chose à montrer est que les 𝔭_{i} sont radicaux (car on sait déjà qu’ils sont primaires et un idéal primaire radical est premier). Supposons donc x^{k} ∈ 𝔭_{j}. Comme 𝔭_{j} ⊉ ⋂_{i≠j} 𝔭_{i}, on peut trouver y ∈ ⋂_{i≠j} 𝔭_{i} tel que y ∉ 𝔭_{j}. Alors x^{k}y^{k} ∈ 𝔯, donc xy ∈ 𝔯. En particulier, xy ∈ 𝔭_{j}. Mais alors soit x ∈ 𝔭_{j}, et on a fini, soit y ∈ √𝔭_{j}. Mais cela n’est pas possible car sinon il existe ℓ tel que y^{ℓ} ∈ 𝔭_{j}, et alors y^{ℓ} ∈ 𝔯, donc y ∈ 𝔯 ⊆ 𝔭_{j}, une contradiction.

Si 𝔪 est un idéal maximal d’un anneau noethérien A, et I un idéal propre contenant 𝔪^{n} pour un certain n, alors I est 𝔪-primaire. En effet, 𝔪 est le seul idéal premier contenant 𝔪^{n} (car un tel idéal doit contenir 𝔪, donc lui être égal), donc aussi le seul idéal premier contenant I, lequel est l’annulateur de A/I. Ainsi, Supp(A/I) = {𝔪} et on applique la proposition (2.2). En particulier, si 𝔪 est maximal alors 𝔪^{n} est 𝔪-primaire pour tout n. Par ailleurs, un idéal premier 𝔭 est 𝔭-primaire. Cependant, les puissances d’un idéal premier ne sont pas toujours primaires, et tout idéal primaire n’est pas une puissance d’un idéal premier. Si 𝔭 est premier et n ≥ 1, alors 𝔭 est minimal parmi les idéaux premiers contenant 𝔭^{n}, et on peut donc considérer la composante 𝔭-primaire de 𝔭^{n}. Celle-ci s’appelle la \underline{puissance symbolique} n-ième de 𝔭 et se note 𝔭^{(n)}. On a 𝔭^{(n)} = 𝔭^{n}A_{𝔭} ∩ A.

Nous terminons par un exemple typique. Soit A = k[x, y] l’anneau des polynômes à deux indéterminées sur un corps k, et I = (x^{2}, xy). Les éléments de I sont les fonctions qui s’annulent sur l’axe des ordonnées et qui ont un zéro d’ordre 2 à l’origine : cett description donne la décomposition primaire I = (x) ∩ (x^{2}, xy, y^{2}). Mais on peut aussi écrire I = (x) ∩ (x^{2}, y), ce qui revient à dire que les éléments de I sont les fonctions qui s’annulent sur l’axe des ordonnées et dont la dérivée partielle par rapport à x s’annule à l’origine. Ici, les idéaux premiers associés de I sont l’idéal premier isolé (x) et l’idéal maximal plongé (x, y). Au passage, notons que l’idéal primaire (x^{2}, y), de racine (x, y), n’est ni une puissance ni une puissance symbolique de celle-ci.

Bibliographie.

[Bou] Nicolas Bourbaki, Éléments de Mathématique, Algèbre commutative, chapitre IV (idéaux premiers associés et décomposition primaire), Hermann.

[Eis] David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics 150.

[Lan] Serge Lang, Algebra, Addison-Wesley.

[Mat] Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, Cambridge Studies in Advanced Mathematics.

[Ser] Jean-Pierre Serre, Algèbre locale, multiplicités, Springer-Verlag, Lecture Notes in Mathematics 11.