From madore@news.ens.fr Wed Jan  5 16:50:01 2000
Article: 1649 of ens.forum.sciences.maths
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From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Trace
Date: 5 Jan 2000 15:50:01 GMT
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Sender: madore@clipper.ens.fr
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Je vous pose une question philosophique très importante : qu'est-ce
que la trace ?

Il y a deux définitions qui me plaisent bien, mais aucune n'est aussi
générale que je le voudrais, et elles ne coïncident pas tout à fait,
d'ailleurs.

Tout d'abord, si M est un module sur un anneau commutatif k, j'appelle
trace pour M l'application de M'*M (ici, M' = le dual de M = Hom(M,k),
et * = produit tensoriel sur k) vers k qui à l*x associe l(x) (bien
sûr, (l,x)->l(x) est bilinéaire de M' fois M vers k, donc définit une
application linéaire de M'*M vers k).  C'est assez joli, mais
malheureusement, je voudrais surtout une application de Hom(M,M) vers
k.  Or s'il y a bien une flèche canonique de M'*M vers Hom(M,M) (qui à
l*x associe l'application t->l(t)x), cette flèche n'est certainement
pas surjective en général (penser à k un corps, i.e. M un ev, alors
l'image est l'ensemble des applications de rang fini), ce qui est
certes attendu, mais elle n'est même pas injective non plus (penser au
cas où l prend uniquement des valeurs dans l'annulateur de M sans pour
autant que l(x) soit nulle).

D'autre part, on a une propriété essentielle de la trace qui est que
Tr(uv)=Tr(vu).  À partir de ça, si R est une k-algèbre quelconque
(i.e. pas forcément commutative), je peux former une « trace » sur R,
à savoir la surjection canonique de R sur le quotient par les
commutateurs (i.e. par le k-sous-module engendré par tous les
commutateurs).  Ça marche, plus généralement, dans le cas où on a une
k-algèbre de Lie.

Ça aussi c'est très beau et très général, comme définition.  L'ennui,
c'est qu'on n'a pas, comme on pouvait l'espérer, de morphisme
canonique de k vers le but de la trace.

Or l'intérêt de la trace c'est surtout de pouvoir comparer 1 et la
trace de l'identité (ou, plus généralement, la trace d'un projecteur),
ce qui donne une notion de dimension.  Dans la 2e définition que j'ai
donnée, on a juste la notion de dimension à un facteur près.

Évidemment, on peut amalgamer catégoriquement ces deux définitions :
si j'ai M un module, je peux construire une application Tr qui part de
Hom(M,M) en décrétant que (a) Tr(uv-vu)=0 pour tous u et v, et que
(b) si u est de la forme t->l(t)x (pour l une forme linéaire sur M et
x un vecteur de M) alors Tr(u)=l(x) ; l'application la plus libre qui
vérifie ces propriétés donne une trace de Hom(M,M) vers un module
affreux (un quotient de Hom(M,M) muni d'une application canonique
depuis k, i.e. pointé par un « 1 »), mais c'est très artificiel (pour
les applications de rang fini, on a fait ce qu'il fallait, et pour le
reste, on s'est contenté de la seule relation qu'on connaissait).

Quelqu'un saura-t-il produire une définition élégante de la trace dans
le contexte le plus général possible ?