From madore@clipper.ens.fr Thu Nov 23 00:58:37 2000 Article: 3616 of ens.forum.sciences.maths Path: eleves!not-for-mail From: madore@clipper.ens.fr (GroTeXdieck) Newsgroups: ens.forum.loisirs.astro,ens.forum.sciences.maths Subject: Re: Precession des equinoxes (was: Re: objets a identifier) Supersedes: <8vhmjd$24t$1@clipper.ens.fr> Followup-To: ens.forum.sciences.maths Date: Wed, 22 Nov 2000 23:58:37 +0000 (UTC) Organization: Forum. Lines: 147 Sender: madore@clipper.ens.fr Message-ID: <8vhml6$25r$1@clipper.ens.fr> References: <8vgi4l$8se$1@clipper.ens.fr> <8vgne1$mva$1@clipper.ens.fr> <8vgsqs$lp1$1@clipper.ens.fr> <8vgtur$n8u$1@clipper.ens.fr> <8vh49o$hub$1@clipper.ens.fr> <8vh6lr$m7r$1@clipper.ens.fr> NNTP-Posting-Host: clipper.ens.fr X-Trace: clipper.ens.fr 974937574 2235 129.199.129.1 (22 Nov 2000 23:59:34 GMT) X-Complaints-To: forum@clipper.ens.fr NNTP-Posting-Date: Wed, 22 Nov 2000 23:59:34 +0000 (UTC) X-Newsreader: Flrn (0.4.0 - 07/99) X-Start-Date: 22 Nov 2000 22:18:30 GMT X-Mark: BOG X-Supersedes-Reason: ajout de X-Mark: BOG Xref: eleves ens.forum.loisirs.astro:32 ens.forum.sciences.maths:3616 (Ceux qui n'ont pas lu le début du thread peuvent passer à la suite où j'explique rapidement la trigonométrie sphérique.) Damien Masse in litteris <8vh6lr$m7r$1@clipper.ens.fr> scripsit: > GroTeXdieck, dans le message (loisirs.astro:21), a écrit : >> Dans deux ou trois siècles, Polaris sera à sa proximité >> maximale du pôle nord, puis il va s'en rééloigner. > > Tiens, je pensais que la proximité maximale était plus > proche de nous que ça. Genre moins d'un siècle. J'ai du me planter. Hum... En fait j'ai dit ça assez au hasard... Et c'est moi qui me suis planté. D'ailleurs, on peut très bien faire le calcul : Soit A = le pôle nord actuel, B = le pôle nord écliptique, et C = l'étoile Polaris. On connaît la distance AB : c'est 23°27'9''. Par ailleurs, Polaris a (actuellement) pour déclinaison 89°15'51'' et pour ascension droite 2h31min48.7s. Par conséquent, la distance AC vaut 44'9'', et l'angle BAC vaut 127°57'11''. Par trigonométrie sphérique (voir plus bas), on peut alors calculer la distance BC, qui vaut 23°54'42''. Et de nouveau par trigonométrique sphérique, on calcule l'angle ABC, qui vaut 1°25'54''. Ceci signifie qu'une rotation de 1°25'54'' du pôle nord autour du pôle nord écliptique l'amènera en ligne avec Polaris (ce qui est évidemment le point le plus proche). Cette « proximité » sera de 27'34'' (contre les 44'9'' actuelles). Avec la vitesse que j'ai donné pour la précession des équinoxes (un tour en 25772 années), ça fait 102 ans et demi. Donc effectivement c'est toi qui avais raison. On peut encore faire le calcul pour Vega : alors AC vaut 51°12'59'', BAC vaut 9°14'5'' donc BC=28°15'16''. Et alors ABC=164°40'39''. Il faut donc compter 11800 ans environ pour que le pôle nord arrive au plus près de Vega (en ignorant tout mouvement de Vega lui-même). La distance en sera alors de 4°48'7''. >> Exercice stupide : l'étoile alpha du Centaure (à présent située à une >> déclinaison de -60°50' et une ascension droite de 14h39.6min) >> était-elle visible à Athènes il y a 2500 ans ? >> [snip] > > Argh, et il le fait, en plus. > Bravo, j'ai jamais réussi, personnellement, à faire des calculs > de ce genre sur une sphère sans 2 heures de recherches avec un crayon > et un papier et une migraine ensuite. J'ai toujours eu un mal de chien > à me repérer dans la trigonométrie sphérique... En fait, ce n'est pas si dur. Le secret, c'est de ne pas faire de dessin :-) Je trouve même que la trigonométrie sphérique est plus simple et plus élégante que la trigonométrie plane. Certes, on n'a pas la formule magique « somme des trois angles égale 180° ». Mais sinon, c'est très joli. Si ABC est un triangle sphérique, soient a=BC, b=CA et c=AB les longueurs de ses trois côtés (quand je dis « longueur » le parle bien sûr de la longueur *à la surface*, mesurée comme un angle au centre de la sphère ; sur la voûte céleste il ne viendrait à personne l'idée de prendre une autre sorte de longueur !), et alpha=BAC, beta=CBA et gamma=ACB les trois angles. On a alors la formule cos(a) = cos(b)*cos(c) + sin(b)*sin(c)*cos(alpha) cos(b) = cos(c)*cos(a) + sin(c)*sin(a)*cos(beta) cos(c) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)*cos(alpha) (« formule des côtés ») qui remplace le théorème de Pythagore généralisé : pour s'en souvenir (de la première, les autres s'en déduisant par permutation cyclique des variables), ce n'est pas très dur, il suffit de se rappeler que (i) lorsque alpha=0 on a a=c-b (ou b-c) et on doit retrouver la formule cos(c-b)=cos(b)*cos(c)+sin(b)*sin(c), (ii) lorsque alpha=pi, au contraire, on a a=b+c et on doit retrouver la formule donnant cos(b+c), et (iii) lorsque alpha=pi/2, pour a,b,c petits, en faisant un développement limité à l'ordre 2 on doit trouver a²=b²+c² (et de façon tout à fait générale on peut retenir cos(a)=cos(b)*cos(c) pour un triangle sphérique ABC rectangle en A : penser au triangle rectangle en ses trois angles, pour lequel a=b=c=90°). Cette formule permet de calculer la longueur d'un côté connaissant la longueur des deux autres et un angle quelconque (on appliquera la formule se rapportant à l'angle qui est connu), ou inversement de calculer un angle connaissant les longueurs des trois côtés. Si on connaît deux angles et un côté, il faut appliquer une autre formule, la « formule des angles ». Il s'agit en fait de dualiser le triangle en le remplaçant par le triangle A'B'C' où A', B' et C' sont les pôles des côtés BC, CA et AB respectivement (le choix des signes et des orientations est laissé au lecteur ;-) : on voit alors que B'C'=180°-alpha, C'A'=180°-beta et A'B'=180°-gamma ; et de même, B'A'C'=180°-a, C'B'A'=180°-b et A'C'B'=180°-c. Bref, en appliquant la formule précédente au triangle A'B'C', on obtient la formule qui s'en déduit en remplaçant les angles-sommets par les supplémentaires des angles-côtés correspondants et vice-versa, c'est-à-dire cos(180°-alpha) = cos(180°-beta)*cos(180°-gamma) + sin(180°-beta)*sin(180°-gamma)*cos(180°-a). Donc : cos(alpha) = - cos(beta)*cos(gamma) + sin(beta)*sin(gamma)*cos(a) cos(beta) = - cos(gamma)*cos(alpha) + sin(gamma)*sin(alpha)*cos(b) cos(gamma) = - cos(alpha)*cos(beta) + sin(alpha)*sin(beta)*cos(c) Donc cette fois on appliquera la formule relative au côté qu'on connaît, si on en connaît un, et elle permettra de trouver l'angle manquant. Notons que si on connaît les trois angles, cette formule permet encore de trouver les trois côtés. Ces formules doivent pouvoir servir dans tous les cas. Cependant, il y en a une autre qui est parfois utile, si on connaît deux côtés et l'angle opposé à l'un d'entre eux : c'est sin(a):sin(b):sin(c) = sin(alpha):sin(beta):sin(gamma) (comprendre : les sinus des côtés sont dans les mêmes proportions que les sinus des angles opposés à ces côtés). L'application la plus commune de la trigonométrie sphérique, c'est le calcul de la distance entre deux points donnés par leur latitude et leur longitude sur une sphère. Pour cela, si l1 et l2 sont les deux latitudes, L1 et L2 les longitudes, on considère le triangle sphérique dont un sommet (A) est le pôle nord, et les deux autres (B et C) les deux points considérés. Alors la formule cos(a) = cos(b)*cos(c) + sin(b)*sin(c)*cos(alpha) donne cos(d) = sin(l1)*sin(l2) + cos(l1)*cos(l2)*cos(L1-L2) avec d la distance recherchée. Dans mes applications astronomiques ci-dessus, je n'ai fait qu'appliquer la formule des côtés, d'abord avec deux côtés et l'angle entre les deux pour trouver le troisième côté, puis connaissant les longueurs des trois côtés pour trouver l'angle manquant. Je termine en démontrant cette fameuse formule des côtés que j'ai énoncé péremptoirement. Le plus simple que j'aie trouvé est d'introduire une base (i,j,k) de l'espace dans lequel est plongé la sphère : i est précisément OA (où O est le centre de la sphère), j est le vecteur unitaire normal à i et situé dans le plan OAB, et k est le produit vectoriel de i et j. Dans ces conditions, OA = i OB = cos(c)*i + sin(c)*j OC = cos(b)*i + sin(b)*cos(alpha)*j + sin(b)*sin(alpha)*k par conséquent, OB·OC = cos(b)*cos(c) + sin(b)*sin(c)*cos(alpha). Mais par ailleurs, OB·OC = cos(a) et on a fini.