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Subject: Re: nouveau club
Date: 20 Oct 1999 22:14:40 GMT
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Sender: madore@clipper.ens.fr
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Joel Riou in litteris (sciences.maths:1003) scripsit :
> Je ne suis pas franchement d'accord avec Jérôme, en effet, pourrait-il
> m'expliquer quel sens intuitif vraiment pertinent il serait capable de
> donner à l'axiome de Régularité de ZF. 

À mon avis,

L'axiome de régularité *est* intuitif.  Tout simplement parce qu'il ne
s'agit pas d'un axiome au sens philosophique (une propriété qu'on
pense naturellement être vérifiée par le Paradis Platonique - quelque
chose comme l'axiome du choix ou l'axiome de remplacement) mais plutôt
d'une définition de la notion d'ensemble (au même sens que l'axiome
d'extension ou l'axiome de l'ensemble des parties).  De même que
l'axiome d'extension demande qu'un ensemble soit défini uniquement par
ses éléments, l'axiome de régularité demande que tous les ensembles
soient bâtis à partir du vide (ou encore, que pour définir une
fonction sur les ensembles on puisse la supposer déjà définie sur tous
les éléments d'un ensemble avant de le définir sur celui-ci).  C'est à
mon sens une condition très naturelle.

(Attention à la formulation, cependant : si on l'énonce comme « tout
ensemble non vide a un élément qui lui est disjoint », on ne comprend
rien (et en plus ça ne marche pas en logique intuitionniste parce
qu'un ensemble peut très bien ne pas être vide sans pour autant avoir
un élément).  La façon « correcte » (qui passe bien en logique
intuitionniste) est « pour tout ensemble x, si y est un ensemble tel
que tout élément z de x vérifiant ``tous les éléments t de x qui sont
dans z sont aussi dans y'' soit dans y, alors x est une partie de
y » ; ça peut paraître complètement imbuvable, comme ça, mais en fait
c'est clair : si y est une partie de x, pour montrer que y contient
tous les éléments de x, il suffit de montrer qu'il contient tous les
éléments (z) dont tous les éléments (t - du moins ceux qui sont dans
x) sont déjà dedans.  C'est alors un principe d'induction tout ce
qu'il y a de plus bête.  Et, malgré sa complexité, il *est* intuitif.)

Fermons cette parenthèse ; pour en revenir à ce que je disais,
j'adopte épistémologiquement un point de vue intermédiare entre le pur
platonisme (les objets mathématiques sont donnés, ils existent
indépendamment de nous, il faut découvrir leurs propriétés) et le pur
formalisme (toute théorie cohérente forme un Univers mathématique
digne d'intérêt, et se demander si « les ensembles vérifient l'axiome
de régularité » est aussi absurde que de se demander si « les éléments
d'un anneau vérifient xy=yx » : il y a des anneaux commutatifs et des
anneaux non commutatifs de même qu'il y a des univers de la théorie
des ensembles qui vérifient Fondation(*) et d'autres qui ne le
vérifient pas).  Le tout est de tracer une ligne entre les propriétés
formelles (régularité à coup sûr) et celles qu'on estime avoir une
existence indépendante de nous (toute propriété Pi1 ou Sigma1 sur les
entiers, même indécidable, a à mon avis une valeur de vérité bien
définie et non purement formelle - c'est en ce sens que je dirais que
« les entiers existent » ; ce que j'essaye maladroitement d'explique
dans http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/math/philosophy.dvi ).

Mais de toute façon, le propos était plutôt de la logique elle-même et
non pas de la théorie qu'on met dessus.  Au niveau de la logique pure,
je ne crois pas que la logique classique soit à ce point
« naturelle ».  Tout d'abord, je répète que ce n'est pas le mode
naturel de fonctionnement de notre pensée.  Et ensuite, cette logique
est strictement moins fine que la logique intuitionniste ou la logique
linéaire : si on refaisait les maths dans l'une ou l'autre(+), on
aurait non pas moins de résultats (la logique classique se plonge dans
l'une et l'autre) mais des informations plus précises sur les
résultats obtenus (utilisation de méthodes constructives ou non dans
un cas, compte précis de l'utilisation des hypothèses dans l'autre).
Informations qui me semblent importantes *et* intuitives.

(*) Nul rapport avec Asimov vous l'aurez compris : il s'agit de
l'axiome de régularité.

(+) Cela suppose naturellement d'abandonner l'axiome du choix dont
chacun sait qu'il implique la « classicalité » de la logique
sous-jacente.  Real Men dont believe in the Axiom of Choice, anyway
;-)