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Subject: Point de vue sur la geometrie algebrique
Date: 5 Oct 1999 01:03:50 GMT
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Ça fait un moment que je n'ai pas posté de naszcitudes
algébro-géométriques dans forum maths, donc je vais essayer d'en
remettre un petit paquet.  (Notez si vous n'êtes pas habitué mes
messages dans forum maths que tout n'est pas toujours compréhensible,
et qu'il serait dommage d'abandonner dès que ça devient un peu confus.
Publicité : les trois dernières lignes valent leur pesant de
cacahouètes.)

Commençons par le problème suivant : dans quel mesure peut-on, pour
faire de la géométrie algébrique, utiliser des formulations internes
au topos des faisceaux (explications à venir) ?  Et par suite, quelles
sont les propriétés et les structures supplémentaires sur ce topos qui
servent pour faire de la géométrie ?  Il s'agit là d'un point de vue
proche de la « géométrie différentielle synthétique » (SDG ; à ce
sujet, je renvoie au bouquin de W. Koch).

Fixons le cadre : on s'intéresse à la catégorie des faisceaux
(d'ensembles).  Quand je dis « faisceaux », je suis volontairement
vague.  La catégorie de base, c'est la catégorie des schémas affines,
qui est *définie* comme la catégorie opposée à la catégorie des
anneaux (commutatifs unitaires).  Ensuite, il peut s'agir, du plus fin
au plus grossier, de faisceaux pour la topologie canonique (sur les
schémas affines) ou la topologie fpqc, fppf, étale ou de Zariski, ou
même tout simplement de préfaisceaux (là, normalement, tout le monde
comprend parce qu'un préfaisceau sur les schémas affines c'est tout
bonnement un foncteur de la catégorie des anneaux vers celle des
ensembles).

Dans tous les cas, tout anneau commutatif A donne lieu à un schéma
affine, et, partant, à un faisceau Hom(A,-):B->Hom(A,B), qu'on
appellera Spec A (on appellera aussi Spec A le schéma affine).  Ces
faisceaux sont dits représentables (par un schéma affine en
l'occurrence).

La catégorie de faisceaux qui nous intéresse, elle a en plus cette
propriété merveilleuse d'être un topos.  Quand je dis « topos », je
parle au sens des logiciens, parce qu'il est bien connu que seul le
sens des logiciens (« topos élémentaire ») vaut quelque chose, le sens
des géomètres (« topos de Grothendieck ») étant absolument sans
intérêt.  Un topos élémentaire, donc, c'est une catégorie dans
laquelle on a toutes les limites et les colimites finies, des
exponentielles (ou Hom internes, c'est-à-dire que le foncteur produit
binaire a un adjoint à droite par rapport à une variable, c'est l'exo
taupin classique Hom(X*Y,Z)=Hom(X,Z^Y) canoniquement), et enfin un
classificateur de sous-objet (en bref, l'ensemble des classes
d'équivalence de monomorphismes vers un objet variable est
représentable, c'est-à-dire qu'il existe un objet W (Omega) et une
flèche 1->W (le « vrai ») tel que tout monomorphisme X0->X soit le
pullback de 1->W par une unique flèche X->W (la « fonction
caractéristique de X0 »)).

En pratique, ce classificateur de sous-objet W (l'« ensemble » des
« valeurs de vérité » du topos) est un faisceau qui à un anneau
commutatif A (en fait, à un schéma affine Spec A) associe l'ensemble
des cribles de but Spec A modulo une relation d'équivalence qui,
*grosso modo*, identifie un recouvrement pour la topologie considérée
à la chose recouverte (par exemple, pour Zariski, si X est réunion de
deux ouverts de Zariski, U1 et U2, on identifiera le crible généré par
les deux immersions ouvertes U1->X et U2->X, au cribe identité).  Ou
encore, W(A) est l'ensemble des monomorphismes de but Spec A (modulo
isomorphisme).  Je vous laisse réfléchir à la correspondance entre ces
deux descriptions, et notamment à l'endroit où la topologie choisie
intervient dans le second, parce que je ne suis pas sûr de tout
comprendre et en tout cas je suis sûr de ne pas réussir à pouvoir
formuler ça de manière claire.

Passons.

Quand on a un topos, il vient avec lui un langage interne.  Ce langage
permet de donner une valeur de vérité à des assertions purement
internes.  Par « internes », je veux dire que les assertions parlent
d'éléments des objets du topos (bien qu'on sache pertinemment bien
qu'une telle chose n'existe pas) et s'en portent très bien.  Par
exemple, si F est un objet d'un topos (en particulier un des topoi de
faisceaux que j'ai énumérés), on peut considérer l'assertion « pour
tout x de F et tout y de F on a x=y » (moralement, « F est au plus un
singleton ») et regarder sa valeur de vérité (qui sera une flèche
1->W), et éventuellement qualifier l'assertion de « vraie » (lorsque
sa valeur de vérité est la flèche « vraie » 1->W utilisée dans la
définition du classificateur de sous-objet).  Donc, on peut parler
d'objets d'un topos qui sont des singletons, même si ça na aucun sens
« externe » (il s'agit d'objets d'une catégorie, donc on ne peut pas
parler d'éléments, encore moins les compter).

Il y a plusieurs façons de décrire ce langage interne (la meilleure
référence est probablement « Sheaves in Geometry and Logic » de
MacLane et Moerdijk).  J'en décris brièvement une (sémantiques de
Mitchell-Bénabou dans le cas des catégories de faisceaux), sous forme
de recette.  (N'hésitez pas à sauter ce paragraphe si vous êtes prêt à
me faire confiance.)  Il s'agit de déterminer si une assertion P du
langage interne est vraie dans le topos.  En fait, pour récurrer, on
définit un truc plus général, U||-P (lire « U force P »), avec U un
ouvert (un objet de la catégorie sur laquelle on considère des
faisceaux, donc ici les schémas affines), et par ailleurs il faut
considérer des propositions avec variables libres (ces variables étant
typées par des objets du topos - des faisceaux quoi), auquel cas pour
déterminer la vérité on se donnera des sections qui les représentent.
Bref, on procède alors par induction sur la complexité de la formule.
U force « P et Q » ssi U force P et U force Q.  U force « P ou Q » ssi
U est recouvert par des ouverts U1 et U2 avec U1 force P et U2 force
Q.  U force « P=>Q » ssi pour tout ouvert V de U tel que V force P on
a aussi V force Q.  U force « pour tout x P(x) » ssi pour tout ouvert
V de U et toute section s (du faisceau donnant le type de x dans P),
on a V force P(s).  Enfin, U force « il existe un x tel que P(x) »
ss'il existe un recouvrement de U par des Ui, et des sections si sur
chaque Ui telles que pour chaque i, Ui force P(si).  Pour le « non »,
on se rappelle que « non P » signifie « P implique faux » (le
« faux », c'est la disjonction de 0 conditions, donc U force faux ssi
U est recouvert par la famille vide).

Exemple : qu'est-ce que cela signifie pour un faisceau F d'être au
plus un singleton au sens du langage interne ?  Cela signifie que 1
force « pour tout x de F et tout y de F on a x=y ».  Cela signifie
donc (après quelques déroulements et simplifications) que si U est un
ouvert quelconque et x et y des sections de F sur U alors x et y
coïncident.  Ce sont exactement les sous-faisceaux du singleton
canonique, 1 (le faisceau constant qui a une unique section sur
n'importe quel ouvert) ; ce sont encore précisément les sections
globales 1->W (le singleton canonique correspondant lui-même à la
flèche « vrai »).

Revenons à notre topos.

À part le classificateur de sous-objet, W, qui n'est pas
représentable, on a un autre objet très important, c'est « la
Droite », R, qui n'est autre que le foncteur d'oubli des anneaux
commutatifs vers les ensembles.  Ce faisceau est représentable, et
c'est précisément Spec Z[t].

R a une structure d'anneau commutatif interne.  Autrement dit, il
existe des morphismes +:R*R->R et *:R*R->R qui vérifient les axiomes
d'un anneau commutatif dans le langage interne.  En fait, dans un
certain sens, R est même un corps, mais il faut faire attention à la
définition qu'on prend d'un corps car le langage interne est de
logique intuitionniste.

Je m'explique.  Si je regarde « l'ensemble des x de R tels que x n'est
pas égal à 0 » (au sens interne) alors ce faisceau F est représentable
par Spec Z[t,t^-1].  (Démonstration : dire qu'une section s de R,
disons dans R(A), qui n'est autre que A (l'ensemble sous-jacent),
« n'est pas égale à zéro » signifie que pour tout morphisme Spec B ->
Spec A (soit A->B) tel que l'image (réciproque selon le point de vue)
de s par ce morphisme soit nulle, alors Spec B est nul (dans le sens
« recouvert par la famille vide »).  Autrement dit, cela signifie que
la seule A-algèbre B dans laquelle s peut s'annuler est l'algèbre
nulle, et cela signifie clairement que s est inversible.  Donc F(A)
est l'ensemble des inversibles de A.  Et c'est précisément ce que
représente Spec Z[t,t^-1].)  Autrement dit, « l'ensemble des éléments
non nuls de la Droite » est bien ce qu'on appelle classiquement
l'ouvert « la droite privée de l'origine » (ou encore « le groupe
multiplicatif Gm »).  Et cet ensemble est aussi « l'ensemble des x de
R tels qu'il existe y dans R (nécessairement unique) vérifiant
xy=yx=1 ».  Ou encore, on a l'assertion (interne) « pour x dans R,
s'il est faux que x=0, alors il existe y tel que xy=yx=1 ».  Ce n'est
malheureusement pas pareil que de dire que « pour tout x dans R, soit
x=0 soit x est inversible » (cela est faux : {0} et le Spec Z[t,t^-1]
ne recouvrent Spec Z[t] pour aucune topologie raisonable) car on est
en logique intuitionniste.

Bref, on a cet anneau interne R qui est presque un corps.  Il a
d'autres propriétés miraculeuses.  Par exemple, l'ensemble des
éléments de R qui « ne sont pas différents de 0 » sont (c'est facile à
vérifier) les nilpotents de R (au sens « il existe un n naturel tel
que x^n=0 ») ; cet ensemble des nilpotents, limite inductive des
schémas affines Spec Z[t]/(t^n), n'est pas représentable (je crois)
par un schéma affine, ni même par un schéma tout court, mais il l'est
(je crois) par un schéma formel (je ne développe pas plus par peur de
dire une connerie plus grosse que moi).

Toute fonction R->R non seulement est continue (axiome de Brouwer) et
est indéfiniment différentiable (principe de la SDG) mais est même un
polynôme à coefficients dans R.  C'est trivial : par Yoneda (je ne
vous avais pas déjà dit que Tout découle de Yoneda en maths ?), un
morphisme R->R est représentable puisque R l'est, donc est un
morphisme Z[t]->Z[t], i.e. un élément de Z[t], et on a gagné (au fait,
« polynôme à coefficients entiers » c'est la vision externe, et
« polynôme à coefficients dans R » c'est la vision interne).  Plus
généralement, une fonction Spec A -> R c'est pareil qu'un élément de
A ; c'est le foncteur « sections globales », encore une casquette de
plus pour notre R.

Un schéma tel que Spec Z[x,y,z]/(z-xy) se décrit très bien de manière
interne : c'est « l'ensemble des triplets (x,y,z) de R^3 pour lesquels
z=xy ».

Bon, ça c'est pour le cadre général.  Voici maintenant les questions
que je proposerais d'étudier :

(1) Dans quelle mesure les constructions, et surtout les propriétés,
de la géométrie algébrique peuvent-elles se traduire par des
assertions dans le langage interne du topos.  Par exemple, peut-on
traduire « U est un ouvert de Zariski de R » par une formule interne ?
Peut-on traduire « X est lisse » ?  (Ce ne sont que quelques
exemples.)  D'ailleurs, peut-on traduire « X est (représentable par)
un schéma » ou « ...par un espace algébrique » par une formule
interne ?

(2) Partant, quelles sont les propriétés et structures de notre topos
de faisceaux qui ont été utilisées pour faire de la géométrie dessus ?
D'autres topoi peuvent-ils servir ?  (Par exemple, j'imagine qu'il est
important, à la base, d'avoir un « corps » R tel que toutes les
fonctions R->R soient des polynômes.)

(3) Existe-t-il une façon interne de décrire les champs en
groupoïdes ?  (Je ne parle pas des champs algébriques - là on combine
avec la question (1).)  Un groupoïde interne, par exemple, ce n'est
pas la même chose, cf. le début de la thèse de Giraud.

(4) Comment mettre une topologie (interne ! - au sens, ensemble
d'ouverts vérifiant différents axiomes) sympathique sur R ?  Le
problème, c'est que je vois trop de façon de faire, qui ne semblent
pas équivalentes, et aussi que ce n'est plus pareil (logique
intuitionniste !) de dire que le complémentaire d'un fermé est un
ouvert et de dire que le complémentaire d'un ouvert est un fermé ; par
exemple, l'ensemble des nilpotents de R (éléments non différents de 0)
est-il ouvert ?

(5) Dans quelle mesure la topologie utilisée pour commencer
joue-t-elle vraiment un rôle ?  (On a déjà vu une condition : que
l'anneau nul soit seul recouvert par la famille vide - ce qui stricto
sensu écarte la topologie triviale, le cas des préfaisceaux.)

Et enfin, la cerise sur le gâteau :

(6) Version non commutative des choses ?  Une possibilité que
j'entrevoyais à ce sujet était de remplacer la notion de topos, donc
de logique intuitionniste, par une logique intuitionniste _linéaire_,
avec opérations « et » (le « fois » de la logique linéaire
correspondrait au produit tensoriel ordinaire, et le « avec » au
coproduit catégorique des anneaux), pour modéliser le fait qu'en mécaQ
(le seul « modèle » qu'on ait de la géométrie non commutative) on
connaît soit la position soit la quantité de mouvement mais pas les
deux à la fois (le « fois » de la logique linéaire mais pas le
« avec »).  D'ailleurs, pour faire encore plus grassouille,
j'imaginais, en prenant non plus seulement le fragment intuitionniste
de la logique linéaire (qui ne s'appelle pas linéaire pour rien) mais
carrément tout le système, d'obtenir une théorie des motifs
généralisés en géométrie non commutative.  Ce n'est pas encore tout à
fait au point mais ça viendra ;-)