From madore@news.ens.fr Mon Dec 6 16:52:26 1999 Article: 1498 of ens.forum.sciences.maths Path: eleves!not-for-mail From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck) Newsgroups: ens.forum.alt.bavardage.deprime,ens.forum.sciences.maths Subject: Re: =?iso-8859-1?Q?1100000_d=E9cimales_de_Pi?= Followup-To: ens.forum.sciences.maths Date: 6 Dec 1999 15:52:26 GMT Lines: 199 Sender: madore@clipper.ens.fr Message-ID: <82gm3q$nvq$1@clipper.ens.fr> References: <8284pt$jmm$1@clipper.ens.fr> <829kil$kgc$1@clipper.ens.fr> <829kr9$j9a$4@clipper.ens.fr> <82fu61$se0$1@clipper.ens.fr> <82g4fq$gfk$1@clipper.ens.fr> <82ge33$id6$1@clipper.ens.fr> NNTP-Posting-Host: clipper.ens.fr Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Trace: clipper.ens.fr 944495546 24570 129.199.129.1 (6 Dec 1999 15:52:26 GMT) X-Complaints-To: forum@clipper.ens.fr NNTP-Posting-Date: 6 Dec 1999 15:52:26 GMT X-Newsreader: Flrn (0.4.0 - 07/99) X-Wisdom-Of-The-Day: Some hatred can yield science. X-Mark: BOG Xref: eleves ens.forum.alt.bavardage.deprime:1628 ens.forum.sciences.maths:1498 [Merci de faire suivre tout le reste de la discussion dans forum maths.] Je crois qu'il serait temps de rappeler une citation passablement célèbre de L. Kronecker : « Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk. » (« Dieu a créé les naturels. Tout le reste est l'oeuvre de l'homme. » Je prends la responsabilité de traduire « ganze Zahl » par « naturel ».) Je crois qu'il y a plus dans cette phrase qu'on voudrait y croire à première vue. Moi je l'interprète comme ceci. C'est l'homme qui invente les concepts mathématiques qu'il étudie. Ces concepts ne sont pas préexistants. Les *axiomes* postulés sur les concepts peuvent être naturels, mais les concepts eux-mêmes ne sont pas vraiment « réels » dans le sens que Régis le signale. Le plus frappant est le concept d'ensemble : il n'a à mon avis _aucun sens_ de se demander si l'hypothèse du continu est « vraie » ; en effet, les ensembles ne sont pas quelque chose de pré-existant sur quoi on puisse tester la véracité de cette hypothèse - or comme elle n'est pas décidée par les axiomes qu'on a postulés, se demander si CH est vraie est aussi absurde que de se demander si les dragons sont à sang chaud ou froid (il n'existe pas de vrais dragons sur lesquels on puisse tester, et par ailleurs cela n'est pas décidé par les axiomes des dragons). Ce qui est en revanche sûr, c'est que si l'homme invente les définitions, il n'invente pas les démonstrations et les théorèmes. Ceux-ci lui sont imposés par quelque chose de réel. Si tout en mathématiques était invention, il n'y aurait aucun sens à cette science. Il n'a pas de sens de se demander si l'hypothèse du continue est « vraie » mais il a un sens de se demander si elle est « consistante ». Les espaces euclidiens sont une invention humaine, mais leurs propriétés (une fois les axiomes admis) n'en sont pas. Pi est une invention humaine (d'ailleurs, à mon avis une civilisation extra-terrestre aurait plus de chances de découvrir 2pi que pi, car 2pi est clairement _la_ bonne constante - d'ailleurs, même pas, _la_ bonne constante est 2*i*pi ; mais là je suis en train de casser ma propre thèse) ; sa valeur n'en est pas une. Or ces démonstrations (i.e. les affirmations du genre « machin est démontrable ») sont, c'est ce que Gödel a découvert, des propriétés sur les _entiers_. L'affirmation « CH est consistante (relativement à ZF) » est un théorème de l'_arithmétique_ et pas de la théorie des ensembles. C'est dans ce sens que je adopte l'affirmation de Kronecker (qui n'est pas le sens qu'il lui donnait, pour sa part) : les mathématiciens prétendent parler de choses compliquées comme des schémas propres et lisses, mais en fait, ils sont en train de faire des affirmations comme « telle propiété découle de tels axiomes », qui sont des affirmations arithmétiques. Les schémas propres et lisses sont le fruit de notre imagination, et probablement un peu de notre perception du monde physique ; les entiers, eux, sont réels, éternels et immuables. Tout ceci serait un peu vaseux si on ne pouvait pas trouver un peu plus frappant que mon exemple de CH. Considérons IC, l'affirmation « il existe un cardinal inaccessible ». IC n'est pas démontrable dans ZF. Il est _probable_ que IC est consistant (mais attention à cette affirmation). Mais l'affirmation « IC est consistant (relativement à ZF) » n'est pas prouvable dans Peano, ni même dans ZF d'ailleurs(*). Il est probable qu'*elle* soit consistante, mais, à son tour, on ne peut pas montrer qu'elle est consistante (i.e. on ne peut pas montrer, dans ZF ni dans Peano, que « il est consistant de supposer qu'IC est consistant (relativement à ZF) »). Et ainsi de suite jusqu'à des niveaux très élevés, mais arrêtons-nous déjà là. Je pense qu'IC est consistant (relativement à ZF - et même tout court d'ailleurs). Je pense qu'il n'y a pas de sens à se demander si IC est « vrai » (notre Univers est trop petit pour contenir un cardinal plus grand que 2^aleph_0, à la limite 2^(2^aleph_0), alors n'essayez pas une seule seconde de penser à un cardinal inaccessible ; ces choses-là ont-elles seulement un sens ?). Mais qu'il y en a un à se demander si IC est consistant. Pourtant, si on est purement formaliste, on m'arrêtera en vertu du même précepte que je professe : Consis(IC) est lui-aussi indémontrable, donc quel sens y a-t-il à croire qu'il soit « vrai » ? Pourquoi la situation serait-elle différente entre IC et Consis(IC) ? Tous deux sont indémontrables, et dans un cas je prétends qu'il n'y a pas de sens à se demander s'il est « vrai », dans l'autre je prétends non seulement que ça a un sens mais en plus que c'_est_ « vrai ». C'est là toute la force de l'affirmation de Kronecker. Car IC est une affirmation sur des choses vraiment intangibles, irréelles et incompréhensibles, les ensembles, les cardinaux, et les cardinaux inaccessibles. Dire « il existe un cardinal inaccessible » est aussi pipo que de se demander s'il existe des dragons dorés, *proviso* qu'il existe des dragons. En revanche, Consis(IC) est une affirmation sur les entiers, à savoir qu'il n'existe _pas_ de démonstration de ~IC dans ZF. Qui plus est, c'est une affirmation Pi_1 : on peut conceptuellement la tester en lançant un ordinateur qui va énumérer toutes les démonstrations dans ZF et s'arrêter s'il parvient à démontrer ~IC. Ce n'est pas physiquement réalisable, mais c'est _concevable_. Et je pense que tout le monde s'accordera qu'il est _concevable_ de donner une valeur de vérité à « l'ordinateur tournera éternellement dans cette Gedankenexperiment » même si ce n'est justement qu'une *Gedanken*experiment. Pourtant, ~Consis(IC) est consistant (relativement à Peano). Cela est *certain*. Autrement dit, on *peut* _postuler_ que « l'ordinateur s'arrêtera (en ayant trouvé une démonstration de ~IC) ». Paf. Mais cela nous fait une belle jambe, parce que cette démonstration, on ne l'a pas pour autant. « D'ailleurs, peut-être qu'il n'en existe pas. » serait-on tenté de dire, mais ça, justement, c'est Consis(IC), et si on dit ça c'est qu'on est tombé dans le piège où je prétends avoir le droit de tomber, affirmer qu'une telle proposition arithmétique a un sens. Disons qu'il existe un modèle de l'arithmétique où Consis(IC) est faux. Mais ce n'est pas « le » bon modèle. Ce qui sous-entend qu'il y a « un » « bon » modèle de l'arithmétique. Qui, moralement, devrait être le plus petit, quel que soit le sens de ça. C'est celui qui a été créé par Dieu dans l'affirmation de Kronecker. La question est ensuite de savoir où placer la limite. Personne ne peut contester qu'une affirmation Pi_0=Sigma_0 sur les entiers (i.e. une affirmation dont les seuls quantificateurs sont bornés) a un sens bien défini, lire, une valeur de vérité. En effet, on peut la tester en temps fini. [En fait, si, même cela est contestable : si les nombres sont tellement grands que l'affirmation n'est pas testable dans toute la durée de vie de l'Univers, on peut discuter. Certes, « 3 est premier » est sûrement vraie, mais qu'en est-il de l'affirmation « l'entier formé des 10^(10^(10^(10^10))) premières décimales de pi est premier » ? Déjà il y a un saut conceptuel nécessaire pour lui donner une valeur de vérité ; et pourtant, j'affirme que cette affirmation a un sens, et d'ailleurs qu'elle est fausse. On ne peut pas tester dans cet Univers mais on a tout de même assez d'imagination pour dire « si l'Univers était un peu différent, on pourrait la tester ».] Le cas des affirmations Pi_0=Sigma_0 étant résolues, on peut passer aux affirmations Pi_1 (qui disent « pour tout n, P(n) est vrai », P étant un prédicat Pi_0, donc qui se teste en temps fini précalculable pour toute valeur de n) et Sigma_1 (qui disent « il existe un n tel que P(n) soit vrai », P étant idem). Tout ce que je viens d'arguer est que ces affirmations Pi_1 (et par négation Sigma_1) ont aussi un sens, une valeur de vérité. Même si elles sont indécidables. (Naturellement, une affirmation Sigma_1 qui n'est pas démontrable est fausse, et une affirmation Pi_1 qui n'est pas falsifiable est vraie.) Si je vous ai convaincu jusque là, continuez à monter dans la hiérarchie arithmétique : les affirmations Pi_2 ont-elle une valeur de vérité ? Les Pi_3 ? Les Pi_4 ? Testez votre niveau de platonisme ou de formalisme à cette aune... Si vous êtes suffisamment platoniste pour croire à l'existence d'une valeur de vérité pour les Pi_n pour tout n, i.e. à toutes les affirmations arithmétiques en logique du premier ordre, passez à la logique du second ordre. Cette fois, on permet des affirmations sur les ensembles d'entiers. Vous avez admis (si vous l'avez admise) la « réalité » des affirmations Pi^1_0, i.e. les affirmations de la logique du second ordre, mais sans quantificateur du second ordre (donc, de facto, du premier ordre). Rajoutons un quantificateur universel (ou existentiel) du second ordre, portant, donc, sur les ensembles d'entiers : cela donne les affirmations Pi^1_1. Croyez-vous à leur réalité ? Et ainsi de suite. On peut donc définir pour chaque personne(+) un « indice de platonisme ». C'est le plus petit couple (r,n) pour lequel la personne pense que les affirmations Pi^r_n (ou Sigma^r_n, cela revient au même) ont une valeur de vérité bien définie. Ainsi, un (0,0)-platoniste est un formaliste matérialiste(#) dur, qui ne croit même pas à la réalité des affirmations finitistes. Un (0,1)-platoniste croit à l'existence d'un sens à ces affirmations, mais pas aux affirmations comportant ne serait-ce qu'un quantificateur non borné (exemples : « pi contient une chaîne de quarante-deux zéros consécutifs quelque part dans son expansion », « IC est consistant »...). Un (0,2)-platoniste croit au sens de ces affirmations mais pas celles ayant un quantificateur de plus. Un (1,0)-platoniste croit au sens de n'importe quelle affirmation sur les entiers, mais pas celles sur les ensembles d'entiers. Et ainsi de suite. Un oo-platoniste est quelqu'un qui est un (r,n)-platoniste pour tous r et n. (Bien sûr, quelqu'un qui est (r,n)-platoniste est (r,n')-platoniste pour tout n'