From madore@news.ens.fr Path: eleves!not-for-mail From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck) Newsgroups: ens.forum.sciences.maths Subject: Re: a la regle et au compas Date: 20 Oct 1999 14:17:07 GMT Lines: 42 Sender: madore@clipper.ens.fr Message-ID: <7ukit3$28q$1@clipper.ens.fr> References: <7uhun8$7ah$1@clipper.ens.fr> NNTP-Posting-Host: clipper.ens.fr Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Trace: clipper.ens.fr 940429027 2330 129.199.129.1 (20 Oct 1999 14:17:07 GMT) X-Complaints-To: forum@clipper.ens.fr NNTP-Posting-Date: 20 Oct 1999 14:17:07 GMT X-Newsreader: Flrn (0.4.0 - 07/99) X-Wisdom-Of-The-Day: Generally a little happiness can't lead to happiness. Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:999 Bon, quelques remarques qui ne répondent pas à ta question mais qui font peut-être un peu avancer le schmilblick. Il y a deux façons (enfin, il y en a nettement plus que deux, mais je vais en mentionner deux) de projeter la sphère sur le plan. La projection stéréographique identifie la sphère à la sphère de Riemann, i.e. P^1(C), et c'est une projection conforme, donc sortie de l'analyse complexe. On la réalise en posant la sphère sur le plan, pôle sud en bas (par exemple), et on fait une projection cônique partant du pôle nord. Cette projection conserve les angles, et conserve les cercles (y compris les droites, qui sont des cercles dégénérés). La projection gnomonique, elle, se fait par une projection cônique dont le centre est le centre de la sphère. Là, on identifie la sphère (quotientée par Z/2Z mais peu importe) au plan projectif réel P^2(R). Cette projection conserve donc les droites (mais pas les angles). Pour le demi-plan de poincaré (espace hyperbolique), c'est pareil : on a une projection stéréographique qui conserve les cercles et les angles, et une projection gnomonique, qui conserve les droites ; la première provient de l'analyse complexe, la second de la géométrie projective réelle. Il est quand même bien plus simple, pour faire des dessins en géométrie Lobatchevskienne, d'utiliser la projection gnomonique, et donc de faire des vraies droites. Pour ce qui est de l'orthogonalité, qui ne se traduit pas (comme pour la projection stéréographique) par une orthogonalité sur la figure, la règle est que deux droites sont orthogonales ssi l'une passe par le point polaire de l'autre (polaire par rapport au cercle à l'infini : dois-je rappeler ce que c'est ?). Quand on a un point en projection gnomonique, il est facile de trouver (à la règle et au compas) quelle serait sa position en projection stéréographique : on trace la corde dont ce point est le milieu, puis le cercle dont le centre est le point polaire de la corde, et qui rencontre le cercle à l'infini en les deux même points que la corde, et son intersection avec le rayon passant par le point initial est le point voulu. Pour la réciproque je ne vois pas de méthode simple. Bien entendu, le centre du cercle (arbitraire) et les points à l'infini ne bougent pas d'une projection à l'autre. Enfin bref, mon message initial était faux parce que je confondais ces deux projections. From madore@news.ens.fr Path: eleves!not-for-mail From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck) Newsgroups: ens.forum.sciences.maths Subject: Re: a la regle et au compas Date: 20 Oct 1999 15:06:53 GMT Lines: 57 Sender: madore@clipper.ens.fr Message-ID: <7uklqd$8k4$1@clipper.ens.fr> References: <7uhun8$7ah$1@clipper.ens.fr> <7ukit3$28q$1@clipper.ens.fr> NNTP-Posting-Host: clipper.ens.fr Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Trace: clipper.ens.fr 940432013 8836 129.199.129.1 (20 Oct 1999 15:06:53 GMT) X-Complaints-To: forum@clipper.ens.fr NNTP-Posting-Date: 20 Oct 1999 15:06:53 GMT X-Newsreader: Flrn (0.4.0 - 07/99) X-Wisdom-Of-The-Day: Generally a little happiness can't lead to happiness. Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:1000 (message 1000, nananère) Finalement, on s'en sort. C'est même assez joli. Je résume : On appellera « cercle à l'infini » le cercle qu'on considère pour commencer, et on appellera O son centre. Si M est un point du disque, censé représenter un point du demi-plan de Poincaré en projection stéréographique, on peut trouver un point M' représentant le même point du demi-plan mais en projection gnomonique cette fois, par le procédé suivant : la perpendiculaire à OM par M coupe le cercle en deux points, N1 et N2 ; les tangentes au cercle par N1 et N2 (i.e. les perpendiculaires à ON1 et ON2 par N1 et N2 respectivement :-) se croisent un un point K de OM, qui est le point polaire de N1N2. Le cercle de centre K et de rayon KN1 coupe le rayon [OM] en un point, qui est le point M' recherché. On peut aussi faire la transformation inverse : donné M dans le disque on peut chercher M` tel que M`'=M. Pour cela, on fait comme ceci : on trace la perpendiculaire à OM passant par O et on appelle Z un de ses points d'intersection avec le cercle ; on complète ZOM en un rectangle, on appelle Y le quatrième point (qui est donc sur la perpendiculaire à OM par M). On appelle X le point de [OY] qui est sur le cercle. On double l'angle (OZ,OX) en un angle (OZ,OT) (T étant encore un point du cercle). Le projeté de T sur OM donne le point M` recherché. (Réflexion faite, on peut faire plus simple : la droite ZM coupe le cercle en un deuxième point, T, qui convient très bien.) La raison de ces constructions ? Pour ce qui est de la première, les deux points à l'infini N1 et N2 ont même image dans les deux projections ; le point polaire K est tel que ON1K et ON2K soient rectangles, donc le cercle de centre K passant par N1 et N2 sera bien perpendiculaire au cercle à l'infini, donc représente la droite N1N2 (de la projection gnomonique) dans la projection stéréographique. Mais dans cette opération, on peut constater que tout ce qu'on a fait c'est bissecter un angle (l'angle complémentaire de (ON1,OM)) par le fameux théorème qui dit que l'angle au centre est le double de l'angle inscrit (programme de géométrie de la classe de 3e), et pour inverser la construction il suffit de redoubler l'angle en question. Analytiquement, si x, x' et x` désignent les rayons (distances à O !) de M, M' et M` respectivement, on a x'=(1/x)-sqrt((1/x^2)-1) et donc x`=2x/(1+x^2), dans laquelle formule on reconnaît la formule donnant le cosinus en fonction du cosinus de l'angle moitié (formule qui sert à montrer que le cercle a un paramétrage rationnel). Une fois qu'on a ces deux constructions, on peut résoudre le problème initial : donnés M1 et M2, représentant des points dans la projection stéréographique, on commence par tracer M1` et M2`, leurs analogues gnomoniques (2e construction), puis on trace la droite reliant ces deux points, et les deux points d'intersection de celle-ci avec le cercle à l'infini donnent deux points sur le cercle qu'on veut tracer en définitive (et dont le centre est le point polaire de la droite par M1` et M2`). Ce Qu'il Fallait Construire.