From madore@clipper.ens.fr Thu Apr 13 15:45:23 2000 Article: 2367 of ens.forum.sciences.maths Path: eleves!not-for-mail From: madore@clipper.ens.fr (GroTeXdieck) Newsgroups: ens.forum.sciences.maths Subject: Theorie de Galois (was: Re: Termes mathematiques et grand public) Date: 13 Apr 2000 13:45:23 GMT Lines: 141 Sender: madore@clipper.ens.fr Message-ID: <8d4j1j$k40$1@clipper.ens.fr> References: <8cnrn2$r1s$5@clipper.ens.fr> <8cs92e$pdt$1@clipper.ens.fr> <8csgtv$gu2$1@clipper.ens.fr> <8cvspe$28g$1@clipper.ens.fr> NNTP-Posting-Host: clipper.ens.fr Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Trace: clipper.ens.fr 955633523 20608 129.199.129.1 (13 Apr 2000 13:45:23 GMT) X-Complaints-To: forum@clipper.ens.fr NNTP-Posting-Date: 13 Apr 2000 13:45:23 GMT X-Newsreader: Flrn (0.4.0 - 07/99) X-Start-Date: 13 Apr 2000 12:09:36 GMT X-Slashdot-Headline: NASA + NCI = Nano-Explorers For Humans X-Mozilla-Quip: This is not the end, not even the beginning of the end, but, perhaps, the end of the beginning - Winston Churchill X-Mark: BOG Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:2367 Bon, on va essayer de dire ce qu'on peut. Je vais essayer que la présentation soit compréhensible par un bon élève de terminale scientifique qui a de plus compris ce qu'est un corps et un groupe. Ceci est le premier chapitre, « Les extensions de corps pour les nuls ». Je ne reviens donc pas sur la notion de corps : pour ce qui m'intéressera, je ne considérerai que des corps compris entre les rationnels (qui sont le plus petit corps de caractéristique 0) et les complexes. Il s'agit donc d'une partie de C contenant au moins Q, stable par addition, multiplication et inverse. Une extension de corps K/k c'est tout simpleemnt un gros corps K contenant un petit corps k. Il y a deux notions particulièrement importantes à définir. La première, c'est celle d'être *algébrique* : un élément x du grand corps K est dit algébrique sur le petit corps k si et seulement si il vérifie une équation polynômiale sur k, c'est-à-dire qu'on peut trouver des éléments a1,...,an de k tels que x^n + a1*x^(n-1) + ... + an = 0. L'extension K/k est dite algébrique lorsque tous les éléments de K sont algébriques sur k. Exemple : i (c'est-à-dire sqrt(-1)) est algébrique sur R car il vérifie l'équation x^2+1=0. Qui plus est, en fait, tout nombre complexe est algébrique sur R, car si z est un complexe, zbar son conjugué, alors z vérifie trivialement l'équation (x-z)(x-zbar)=0, et en développant on trouve x^2-2*Re(z)*x+N(z) où Re(z) est la partie réelle de z et N(z) son module : cette équation est bien à coefficients réels. Exemple 2 : sqrt(2) est algébrique sur Q car elle vérifie l'équation x^2-2=0. Considérons l'ensemble Q(sqrt(2)) des nombres de la forme a+b*sqrt(2) avec a et b des rationnels. On vérifie facilement qu'il s'agit d'un corps (le fait qu'il soit stable par addition est évident ; pour la multiplication, (a+b*sqrt(2))*(a'+b'*sqrt(2)) = (a*a'+2*b*b') + (a*b'+b*a')*sqrt(2) ; et pour l'inverse, si a et b ne sont pas nuls, 1/(a+b*sqrt(2)) = a/N - b/N*sqrt(2) où N=a^2-2*b^2 est rationnel non nul). Il s'agit donc d'une extension de corps de Q. Encore une fois, tout nombre de Q(sqrt(2)) est algébrique sur Q (cela se vérifie comme pour les complexes avec en place de la conjugaison complexe z->zbar l'application qui a a+b*sqrt(2) associe a-b*sqrt(2)). Contre-exemple : le nombre e, ou le nombre pi, ne sont pas algébriques sur Q. Par conséquent, l'extension R/Q n'est pas algébrique. La théorie de Galois ne s'intéresse qu'à des extensions algébriques. La deuxième notion importante c'est la notion de degré : le degré d'un algébrique x (sur un corps k) est le degré n du plus petit polynôme x^n+...+an (comme plus haut) à coefficients dans k dont il est solution. On voit immédiatement que le degré de x est 1 si et seulement si x est dans k. Les exemples ci-dessus sont caractéristiques du degré 2 : sqrt(2) est de degré 2 sur Q et i est de degré 2 sur R (et sur Q aussi, d'ailleurs). J'appellerai degré d'une extension de corps algébrique K/k le plus grand degré possible sur k d'un élément de K (qui est donc algébrique sur k par hypothèse), et avec la convention que ce degré est plus l'infini s'il existe dans K des éléments de degré arbitrairement élevé. (Dans le cas contraire, K/k sera appelée « extension algébrique finie ».) (En fait, cette définition du degré n'est pas mathématiquement très satisfaisante, mais on fera avec : elle est en tout cas correcte.) Le degré est multiplicatif : si K/k est de degré n et L/K est de degré m alors L/k est de degré mn. Exemple : C/R est de degré 2 puisque j'ai montré que tout nombre complexe était racine d'un polynôme (unitaire) à coefficients réels de degré 2. De même, Q(sqrt(2)) est de degré 2 sur Q. Contre-exemple : considérons l'ensemble de tous les nombres complexes qui ont la propriété d'être algébriques sur Q (on dit souvent « algébriques » tout court). Cet ensemble forme un corps (ce n'est pas évident *a priori*), qu'on appelle la clôture algébrique de Q, ou le corps des nombres algébriques (sur Q), Qbar. Il est algébrique sur Q puisque par définition tous ses éléments sont algébriques sur Q. Mais il n'y a pas de degré maximal, donc l'extension Qbar/Q est de degré infini. Fait : si k est un corps (toujours un sous-corps de C car je ne considère que ça) et x un nombre complexe, alors il y a un plus petit corps contenant k et x, le corps « engendré » par k et x. On le note k(x) : par exemple, R(i) est précisément C ; et Q(sqrt(2)) a déjà été étudié. Si x est algébrique de degré n, alors k(x) se compose des nombres de la forme c1*x^(n-1)+...+cn, où cn sont des éléments de k, et, qui plus est, cette écriture est unique. Le degré du corps k(x) est précisément le degré n de x. Qui plus est, pour toute extension K/k algébrique finie de degré n on peut trouver un x de degré n sur k tel que K=k(x) (théorème de l'élément primitif - dont je me suis en fait servi pour définir le degré d'une extension). Exemple : considérons k=Q et x le nombre 2^(1/3), la racine cubique (réelle) de 2. Alors Q(2^(1/3)) est le corps formé par les expressions a + b*2^(1/3) + c*4^(1/3) où a,b,c sont rationnels : il s'agit bien d'un corps, et toutes ces expressions sont algébriques sur Q, de degré au plus 3 (en fait, soit 1 soit 3, le cas 1 se produisant exactement quand le nombre est rationnel, c'est-à-dire b=c=0). C'est une extension de degré 3 de Q. Exemple : considérons maintenant j le nombre exp(2*i*pi/3), racine cubique primitive de l'unité. Il vérifie l'équation j^2+j+1=0, et il est donc algébrique de degré 2 sur Q. Le corps Q(j) est formé par les expressions a+bj où a et b sont rationnels, et c'est une extension de degré 2 de Q. Exemple étendu : considérons maintenant le corps Q(j,2^(1/3)), autrement dit, le corps Q(j)(2^(1/3)) engendré par 2^(1/3) sur Q(j), ou, ce qui revient au même, Q(2^(1/3))(j). Il s'agit d'une extension de degré 6 de Q (pourquoi ? parce que j n'est pas dans Q(2^(1/3)), et qu'il a donc degré 2 sur celui-ci, puis on applique la multiplicativité des degrés). On a donc quatre corps en jeu ici : Q, Q(j), Q(2^(1/3)) et Q(j,2^(1/3)) que l'on peut faire figurer sur le diagramme Q(j,2^(1/3)) 3 2 Q(j) 6 Q(2^(1/3)) 2 3 Q où les nombres placés entre deux corps (normalement il faudrait mettre des traits) sont les degrés des extensions : Q(j,2^(1/3)) est de degré 3 sur Q(j), 2 sur Q(2^(1/3)) et 6 sur Q et ainsi de suite. Cet exemple sera très important pour la suite parce qu'on aura ici un groupe de Galois pas trop trivial (notamment pas commutatif) et un exemple d'une extension algébrique finie mais pas galoisienne. Mais dans ce dernier exemple, je n'ai pas donné d'élément primitif, c'est-à-dire d'exemple d'un élément x de degré 6 tel que Q(x) soit précisément Q(j,2^(1/3)). En fait, cela a un intérêt très limité, ce qui compte surtout c'est de savoir que ça existe. Ici, j+2^(1/3) convient par exemple comme élément primitif. Je termine ici pour la première partie, et je vous invite à me faire part de vos commentaires et appréciations. La seconde sera consacrée à la théorie de Galois proprement dite.