From madore@clipper.ens.fr Sat Aug 19 18:44:49 2000 Article: 12278 of ens.forum.alt.opipo Path: eleves!not-for-mail From: madore@clipper.ens.fr (GroTeXdieck) Newsgroups: ens.forum.alt.opipo,ens.forum.sciences Subject: Mecanique celeste (was: Re: And the winner is...) Followup-To: ens.forum.sciences Date: 19 Aug 2000 16:44:49 GMT Lines: 103 Sender: madore@clipper.ens.fr Message-ID: <8nmdi1$ob8$1@clipper.ens.fr> References: <8n789u$8ue$2@clipper.ens.fr> <8njnfl$2um$1@clipper.ens.fr> <8njo7r$3r2$1@clipper.ens.fr> <8nk2dp$ia2$1@clipper.ens.fr> <8nkb61$s78$1@clipper.ens.fr> <8nma35$k2b$1@clipper.ens.fr> NNTP-Posting-Host: clipper.ens.fr Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Trace: clipper.ens.fr 966703489 24936 129.199.129.1 (19 Aug 2000 16:44:49 GMT) X-Complaints-To: forum@clipper.ens.fr NNTP-Posting-Date: 19 Aug 2000 16:44:49 GMT X-Newsreader: Flrn (0.4.0 - 07/99) X-Start-Date: 19 Aug 2000 15:55:35 GMT X-Mark: BOG Xref: eleves ens.forum.alt.opipo:12278 ens.forum.sciences:626 En mécanique céleste, pour paramétrer l'espace des phases, plutôt que d'utiliser les trois coordonnées (e.g. cartésiennes) de position et les trois coordonnées de quantité de mouvement d'une planète, on préfère utiliser six coordonnées un peu plus adaptées au problème considéré, et dans lesquelles le mouvement d'une planète isolée (le système à deux corps, quoi) est particulièrement simple à décrire. Ces coordonnées sont appelées « éléments moyens » ou « éléments orbitaux » de la planète. Elles repèrent l'orbite elliptique oscultatrice de la planète (autour du centre de gravité du système) et la position de la planète sur cette orbite oscultatrice. Ce sont : * Le demi grand axe de l'orbite (noté a). * L'eccentricité de l'ellipse (notée e). * L'inclinaison du plan orbital mesurée par rapport au plan écliptique (notée iota). * La longitude du noeud [ascendant], mesurée sur l'écliptique par rapport au point vernal (notée Omega). * L'argument du périhélie, mesurée sur le plan orbital par rapport au noeud ascendant (noté omega). (Parfois on utilise plutôt la longitude du périhélie, notée omega tilde ou pi alexandrin (varpi, lequel ressemble beaucoup à un omega tilde), définie comme la somme de la longitude du noeud et de l'argument du périhélie, ce qui est un angle bizarre mesurée en partie sur le plan écliptique et en partie sur le plan orbital.) * L'anomalie moyenne, cf. infra (notée M). Parfois on utilise plutôt la longitude moyenne (notée L), définie comme la somme de l'anomalie moyenne et de la longitude du périhélie (donc, finalement, de la longitude du noeud, de l'argument du périhélie et de l'anomalie moyenne). Pour définir l'anomalie moyenne, il faut d'abord définir l'anomalie excentrique (notée E) : celle-ci est l'angle (mesuré depuis le périhélie) formé au niveau du *centre* de l'orbite (et non du centre de masse, qui en est un *foyer*) jusqu'à la position de la projection (perpendiculaire au grand axe) de la planète sur le cercle (situé dans le plan orbital) qui a pour centre le centre de l'ellipse et pour rayon son grand axe. Ouf - c'est un peu pénible à décrire, mais c'est très facile à comprendre en fait. J'essaye autrement : notons a le demi grand axe et b le demi petit axe (b=a*sqrt(1-e^2)), et considérons un repère orthonormé dans le plan orbital centré sur le centre de l'orbite et ayant pour direction des abscisses celle du périhélie. Le périhélie a pour coordonnées (a,0), l'apohélie, (-a,0) (évidemment, l'un et l'autre sont à égale distance du centre, mais pas du foyer !). Le foyer a pour coordonnées (ae,0). L'ellipse est image du cercle de rayon a par une affinité qui multiplie les ordonnées par b/a. Alors E est l'argument de la position de cette planète si on défait cette affinité : autrement dit, l'affinité transforme les coordonnées de la planète de (a*cos(E),a*sin(E)) à (a*cos(E),b*sin(E)). Notons en particulier que la distance de la planète au foyer (j'ai bien dit : au foyer) égale r=a*(1-e*cos(E)), comme on le voit facilement. On a aussi l'anomalie vraie, f, qui est égale à l'angle formé au foyer entre le périhélie et la planète : on peut la calculer par cos(f)=(cos(E)-e)/(1-e*cos(E)) et sin(f)=(b/a)*sin(E)/(1-e*cos(E)). Bon, eh bien l'anomalie moyenne, c'est encore tout autre chose que l'anomalie excentrique que je viens de définir. C'est l'aire du secteur elliptique centré sur le foyer balayé entre le périhélie et la position de la planète, et rapportée au fait que l'aire totale de l'orbite vaut 2*pi. Un calcul géométrique pas trop compliqué montre que l'anomalie moyenne M est reliée à l'anomalie excentrique E par l'équation suivante (dite équation de Kepler) : M=E-e*sin(E), tous ces angles étant bien entendu mesurés en radians. (On notera qu'il faut, pour calculer E - et donc la position de la planète - à partir de M, résoudre une équation transcendante, ce qui se fait très bien avec la méthode de Newton en partant de l'approximation E=M.) Les lois de Kepler nous assurent que pour une orbite simple, le seul élément moyen qui varie est M. Plus précisément, la troisième loi de Kepler (« des surfaces égales sont parcourues en un temps égal ») affirme que M (ou, de manière équivalente, L) est fonction affine du temps (modulo 2*pi). Notons qu'on trouve également des coordonnées déduites des éléments moyens, notamment k=e*cos(varpi), h=e*sin(varpi), q=sin(iota/2)*cos(Omega) et p=sin(iota/2)*sin(Omega) pour certaines études sur la mécanique céleste à long terme du système solaire. Pour l'utilisation pratique des éléments moyens, on se donne des approximations de Poisson des six éléments moyens, c'est-à-dire des sommes de termes polynomiaux et de variations périodiques (voire des termes mixtes), les termes périodiques les plus importants correspondant aux attractions mutuelles de Jupiter et Saturne. Il s'agit donc d'abord de calculer les six éléments moyens (éventuellement de déduire omega=varpi-Omega et M=L-varpi), puis de résoudre l'équation de Kepler pour trouver E, d'en déduire (avec a et e) les coordonnées de la planète dans le plan orbital, puis par plusieurs changements de coordonnées successifs, par rapport au plan écliptique. Mais l'intérêt des éléments moyens concerne aussi la théorie. En effet, il paraît que la structure symplectique de l'espace des phases (le crochet de Poisson, quoi) ainsi que le Hamiltonien du système sont faciles à écrire dans ce nouveau système de coordonnées (je n'ai jamais eu la patience d'essayer d'écrire complètement la transformation de coordonnées entre les coordonnées « bêtes » et les six éléments moyens). Donc, pour perturber un peu une orbite classique, c'est idéal.