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Date: 17 Oct 1999 21:02:40 GMT
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Joel Riou in litteris (alt.bavardage:968) scripsit :
> ne vois aucune objection à l'intégration de GroTexdieck, mais j'aimerais
> quand même savoir (pour étendre ma pseudo-culture mathématique très
> limitée) ce que c'est qu'un faisceau inversible ample (parce que bon, déjà

Bon, malgré l'excellent message de MXK, je me risque à proposer
moi-même une explication naïve.

Il faut d'abord te faire une petite idée de ce que c'est qu'une
variété algébrique.  Disons qu'on travaille sur C.  Alors une variété
algébrique c'est quelque chose défini par des combinaisons booléiennes
d'égalités et d'inégalités de polynômes dans l'espace projectif (comme
on travail en projectif - je rappelle que l'espace projectif P^n est
le quotient de l'espace affine épointé C^(n+1) \ {0} par les
homothéties - il faut des équations homogènes ; par ailleurs, par
« inégalités », je veux bien sûr dire des trucs « différents de 0 »,
pas « supérieur à 0 » qui n'a pas de sens pour les complexes).
Exemple : la sphère définie dans P^3 par X^2+Y^2+Z^2-T^2=0, le plan
affine défini dans P^2 par T!=0 (T différent de 0, autrement dit on
retire une droite « à l'infini »), ou encore le plan affine épointé
défini dans P^2 par T!=0 et (X!=0 ou Y!=0).

Bon, ça c'est une variété algébrique (quasi-projective, oui, oui, je
sais) immergée dans un espace projectif.  Pour mieux faire les choses
il faut considérer les variétés abstraitement.  Autrement dit, tu
identifies deux variétés lorsqu'il existe un isomorphisme entre
elles ; pour rester vague, je dirai qu'un isomorphisme est une
bijection définie par des équations qui sont des fonctions
rationnelles définies aux endroits où elle doit être définie.

Par exemple, la droite affine épointée, définie dans P^1 (les
coordonnées étant X et T) par X!=0 et T!=0, est isomorphe à
l'hyperbole affine, définie dans P^2 (les coordonnées étant X, Y et T)
par T!=0 et XY-T^2=0.

Une variété algébrique est dite projective lorsque tu peux la réaliser
comme un fermé de l'espace projectif : des équations ne comportant que
des égalités de polynômes.  (Cela implique entre autres que la variété
en question est propre, i.e. que l'ensemble de ses points complexes
est compact.  La réciproque est vraie en dimension 1, i.e. pour une
courbe, et « presque » en dimension >1, c'est le lemme de Tsen.)  Une
des questions possibles de la géométrie algébrique est de savoir quand
une variété algébrique (abstraite) est projective, i.e. quand on peut
trouver un plongement vers un espace projectif ; les faisceaux
inversibles (très) amples répondent à cette question.

Pour essayer d'expliquer ça, plutôt que passer par les fibrés
inversibles (fibrés en droites) eux-mêmes, et pour faire un peu
différent de MXK, je vais plutôt essayer de donner une idée par les
diviseurs.

Imaginons d'abord que la variété X soit lisse, i.e. c'est une variété
au sens de la géométrie différentielle, i.e. son espace tangent a la
bonne dimension en tout point (exemples : tous ceux que j'ai cités
jusqu'à maintenant ; contre-exemple : la réunion de deux droites
projectives, i.e. la variété algébrique dans P^2 définie par X=0 ou
Y=0).  Dans ce cas, on appelle _diviseur_ sur X une somme formelle à
coefficients entiers de sous-variétés fermées (pas forcément lisses)
de X de codimension 1, avec la prescription que la réunion de deux
sous-variétés (n'ayant pas de composante commune) s'identifie à leur
somme (dans l'exemple ci-dessus, la réunion des deux droites sera
identifiée à leur somme, comme diviseur sur le plan projectif).  Les
diviseurs s'ajoutent terme à terme comme on le pense.

Si f est une fonction rationnelle non nulle sur X (un morphisme de X
vers la droite projective), le lieu de ses zéros (en gros, la
sous-variété définie par f=0 avec multiplicités éventuelles) forme un
diviseur sur X, ainsi que le lieu de ses pôles ; la différence
(diviseur des zéros moins diviseur des pôles) s'appelle le diviseur de
f, et est noté (f).  On a bien sûr (fg) = (f) + (g).  L'ensemble des
(f) pour f rationnelle sur X forme donc un sous-groupe du groupe des
diviseurs de X : on appelle ces diviseurs linéairement équivalents à 0
(et on dit que deux diviseurs D et D' sont linéairement équivalents
ssi leur différence est linéairement équivalente à 0).  Le quotient
(du groupe des diviseurs par le sous-groupe des diviseurs linéairement
équivalents à 0) s'appelle groupe de Picard de X.

Si D est un diviseur de X, on peut considérer les fonctions
rationnelles f sur X dont le diviseur associé (f) est au moins égal à
-D (« au moins » dans le sens que le coefficient de (f) pour une
sous-variété fermée de codimension 1 donnée est supérieur ou égal à
celui de -D, autrement dit, là où D est positif on permet à f d'avoir
des pôles d'au plus cet ordre, et là où D est négatif on impose à f
d'avoir des zéros d'au moins (moins) cet ordre).  Ces fonctions
s'appellent les sections globales du (faisceau inversible associé au)
diviseur D.

Dans le cas des variétés X qui ne sont plus lisses mais seulement
irréductibles (autrement dit, qui ne sont pas réunion finie des
variétés plus petites), on ne peut plus définir les diviseurs comme je
l'ai fait (diviseurs de Weil) mais il faut définir les « diviseurs de
Cartier » (du nom de Pierre Cartier, qui soit dit au passage est le
doyen du DMI).  En gros, un diviseur de Cartier est quelque chose qui
localement ressemble au diviseur des zéros d'une fonction rationnelle.
Le reste (diviseur de Cartier associé à une fonction rationnelle,
équivalence linéaire, groupe de Picard) se traite *mutatis mutandis*.
On a aussi les sections globales d(u faisceau inversible associé à) un
diviseur de Cartier.  Sous les conditions que j'ai posées (variété
algébrique irréductible) on peut identifier un diviseur de Cartier
modulo équivalence linéaire et son faisceau inversible associé (le
machin qui à un ouvert de la variété (ouvert au sens de Zariski,
i.e. complémentaire d'une sous-variété fermée) associe le C-ev des
sections sur cet ouvert (qu'on peut définir par exemple comme des
sections globales après restriction à l'ouvert)).  Le « modulo
équivalence linéaire » est important, et intéressant : si sur la
droite projective on considère les diviseurs définis par l'origine et
le point à l'infini, ces diviseurs sont linéairement équivalents (la
fonction X/T a zéro comme zéro et l'infini comme pôle), donc les
groupes de sections de l'un et de l'autre sont isomorphes (fonctions
ayant éventuellement un pôle simple en zéro d'une part et fonctions
ayant éventuellement un pôle simple à l'infini d'autre part) ;
pourtant, on les réalise différemment par des fonctions rationnelles,
c'est bien la structure abstraite qui compte et non la réalisation par
des fonctions rationnelles.

Passons, je m'écarte du sujet.  Retenons simplement qu'il y a
correspondance biünivoque entre faisceaux inversibles et diviseurs (de
Cartier).

Un diviseur très important sur l'espace projectif, c'est celui défini
par l'hyperplan à l'infini (avec multiplicité 1).  À équivalence
linéaire près, c'est le diviseur défini par n'importe quel hyperplan.
On note O(1) sont faisceau des sections (faisceau inversible associé),
appelé faisceau de Serre : une section de O(1) c'est une fonction
rationnelle qui a au plus un pôle simple à l'infini (par exemple X/T).

Un faisceau inversible est dit très ample lorsqu'on peut plonger la
variété comme une variété fermée dans un espace projectif de façon que
le diviseur (associé au faisceau qui nous intéresse) soit
l'intersection de la variété avec le diviseur défini ci-dessus
(l'hyperplan à l'infini).  Autrement dit, un faisceau inversible très
ample est l'image réciproque du faisceau de Serre par une immersion
fermée dans l'espace projectif.

Un faisceau ample, c'est un faisceau dont une certaine puissance
tensorielle (positive) est très ample : sur les diviseurs, une
puissance tensoriel du faisceau apparaît comme un multiple du
diviseur.  Un faisceau ample est, en gros, un faisceau qui a
« suffisamment » de sections (globales).

Sur une courbe lisse, ce n'est pas très difficile, un diviseur est une
somme formelle de points ; la somme des coefficients s'appelle le
degré du diviseur, et le diviseur (enfin, le faisceau) est ample ssi
le degré est >0.

Questions.  Pour les conscrits : suis-je resté relativement
compréhensible ?  Pour les géomètre : n'ai-je pas trop pipoté ?