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Subject: Re: transitif
Date: 9 Sep 1999 13:59:25 GMT
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NNTP-Posting-Date: 9 Sep 1999 13:59:25 GMT
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Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:695

JML in litteris (sciences.maths:694) scripsit :
> Quelqu'un peut-il me rappeler ce qu'est une action transitive ?

Un G-ensemble X est transitif ssi tu peux amener n'importe quel
élément de X sur n'importe quel élément de X par l'action d'un élément
de G.  Autrement dit, ss'il n'y a qu'une orbite ; X est alors
isomorphe (en tant que G-ensemble) à un quotient de G par un certain
sous-groupe, qui n'est autre que le stabilisateur d'un élément de X
(tous ont le même stabilisateur puisque, justement, l'action est
transitive).

Plus formellement, pour tout x dans X, la fonction G->X qui à g
associe g.x, est surjective (il suffit bien sûr d'exiger qu'elle soit
transitive pour *un* tel x pour qu'elle le soit pour tous les x).

Plus généralement, tu peux faire agir G sur l'ensemble des n-uplets
d'éléments *distincts* de X.  Si cette action est transitive, on dit
que l'action originale de G sur X est n-transitive (ou n fois
transitive).  Autrement dit, cela signifie que si tu spécifies les
images désirées de n points de X (avec autant d'égalités à l'arrivé
qu'au départ, bien entendu) alors tu peux trouver un élément de G dont
l'action vérifiera ces conditions.  Bien entendu, n-transitif implique
k-transitif pour k<n.

Le groupe symétrique S_n opère n fois transitivement sur un ensemble à
n éléments.  C'est, bien entendu, le seul qui opère de plus fidèlement
(pour une action pas fidèle, n'importe quelle extension de S_n
convient).

> Un groupe transitif, ca existe ? (transitif pour l'action de conjugaison ?)

Tous les groupes sont exactement une fois transitifs (transitifs mais
pas 2-transitifs) quand ils opèrent sur eux-même par translation.

En revanche, par conjugaison, un groupe non trivial n'est jamais
transitif puisque l'élément neutre ne pourra pas être envoyé sur autre
chose que l'élément neutre.

Je crois que généralement quand on dit (dans l'abstrait) qu'un groupe
G est n-transitif, ça veut dire qu'il *existe* un G-ensemble X dont
l'action est fidèle et n fois transitive.  Il me semble vaguement me
souvenir de théorèmes affreux affirmant quelque chose comme le fait
que les seuls groups n-transitifs avec n>6 sont les groupes
symétriques, mais qu'un (les?) groupe de Mathieu est 6-transitif et
que c'est le seul...  Ou une horreur du genre.  Si quelqu'un peut
préciser...

          -- David, qui sent de plus en plus qu'il va se retrouver à
             expliquer la géométrie plane en seconde, alors il faut
             que je m'entraîne à la pédagogie